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pour toutes les autres; par suite, la recherche fies surfaces ainsi définies 

 se ramène à celle des systèmes de courbes sphériques orthogonales com- 

 prenant une famille d'hélices tracées sur des cylindres quelconques. 



M D'autre part, il est évident que l'indicatrice sphérique d'une hélice 

 est un petit cercle, dont le plan est perpendiculaire aux génératrices du 

 cvlindre sur lequel cette hélice est tracée. On a d'ailleurs, pour revenir 

 d'une courbe sphérique quelconque C, à la courbe sphérique C dont elle 

 est l'indicatrice, la règle suivante : 



» On exprime le rayon de courbure R, de C^ en fonction de rare s ^ de celte 

 courbe. Par le centre O de la sphère on trace un rayon vecteur OM, de C,, la 

 parallèle ON, au segment positif de la tangente en M, à C,, puis, dans le 

 plan perpendiculaire en O à OM,, une droite OM faisant dans le sens positif 

 avec ON, un angle i» donné par la formule 



la trace IM de cette dernière droite sur la sphère décrit la courbe C cherchée. 



» De là résultent, en particulier, une construction très simple de l'hélice 

 sphérique, et les expressions suivantes des coordonnées de ses points, en 

 tonction de l'angle u qui a pour sommet le centi-e O, du cercle C,, et qui 

 est sous-tendu par l'arc s,, 



('>>=— sin« cos( /■ — nu) — n cos« sin( k — nu), 

 (3) i^~ cosMcos(X- — /ïh) — « sinusin(X- — ««), 



l l' ^ vi~""sin(X: — nu). 



» La droite 00, a été prise pour axe des:;; de plus, l'angle u se compte 

 il partir de la trace du plan C, sur xOz. Pour une même hélice // et k sont 

 deux paramètres constants; n, qui est d'ailleurs le seul paramètre de gran- 

 deur, est égal à 00,, k est introduit par la quadrature comprise dans la 

 formule (2). 



» On a, de plus, les expressions suivantes pour les cosinus directeurs 

 de la tangente JMT à C et pour ceux du segment positif perpendiculaire 

 au prolongement de OM et à MT 



(^O l^- = v'i — 7i-cosu, u/ = y/i — n' sin u, ;/ = n ; 



/ V = « cos« cos(l- — nu) — sin« sin(/?- — rui), 

 ('') i ' ~ cosus\n{k — nu) -h n sin ucos (A — nu), 



'" = — v'i — «" cos(X: — nu). 





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