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)) J'oiir obtenir sur la sphère le système de coordonnées ;/, v le plus 

 général comprenant une famille d'hélices (t), il suffît de considérer X- et n 

 comme des fonctions de (' et de faire dé])endre aussi de cette seule va- 

 riable la direction de OO,. Si, par exemple, on désigne par o et <]< les 

 angles que font Oa- et 00, avec la trace du plan zOO, sur le plan xOy, 

 on obtient le système suivant 



/ c = Xsinil/coscp — 'X'sincp + 7."cos'^cos9, 

 (6) '. c' = X sin(J/sincp + T^'coscp -H 1" cosJ/sincp, 



l c"= — 1 cos J/ + a" sin 'II, 



où 1, y, À" ont les valeurs (3), et oii /•, n, o, i sont des fonctions arbitraires 

 de i>. On aurait des formules analogues pour les nouveaux cosinus direc- 

 teurs a, a', o", h, //, //' de MT et du segment normal considéré plus haut. 

 On a, de plus, j)our les rotations du trièdre formé par les trois directions 

 précédentes, 



ip — o^ p, = i-' — itn'-h a"o'~l''l', 



/.\] Ç = — yi — «■-cos(/t — /»/), </, = sin(k— mi)+l)"o'— u.'i/'. 



Kl) \ ' ' V i^«- ' . ' 



I r= sj i — ir sin(Â- — fin), r, = "~ cos (X- — nu) + c"o'— Va' . 



\ ' V'i — «^ 



» Quand on saura intégrer l'équation des trajectoires orthogonales des 

 hélices (v), on prendra le paramètre de ces courbes comme nouvelle va- 

 riable indépendante à la place de m et l'on sera ramené, comme l'a montré 

 M. Darboux, à intégrer une équation de Laplace. Dans le cas général, 

 l'équation à intégrer sera la suivante 



(8) JL(-JIi-!^^2.^)_':^ = o. 



au \ (jpi du pi ôv/ (j du 



)> C'est encore une équation linéaire du second ordre, mais elle com- 

 prend un terme en ,— ; si l'on voulait la ramener à une équation deLaplace, 



on aurait évidemment à intégrer la même équation auxiliaire que pour 

 trouver les trajectoires orthogonales des hélices (V). Voici, en résumé, la 

 règle à laquelle on arrive : 



» On se donne arbitrairement (juatrc. fonctions /,\ n, o, j f/c la i:ariahle v 



