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 lement que a„ f»t u,^ sont positifs et 



(0 ''<r^^ ««+. >;-'-. 



(l'oi'i suit 



I 



M„+i + U,n.. 4- . . . + «„+,„ < -^ ««J/,,, 



•;. 



ce qui est d'ailleurs suffisant pour constater la convergence de la série à 

 termes positifs ^u^, m étant supjjosé quelconque, positif et entier. Il est 

 du reste évident a posteriori que a„«„, dans l'hvpothèse ((), doit s'appro- 

 cher d'une limite positive ou zéro, ainsi qu'il suit de l'inégalité 



*«4 1 **«+ 1 



>;J-««+i >o- 



» Si j'ai insisté particulièrement sur ces points, c'est parce que je regarde 

 wrt démonstration du théorème cité comme une extrême et nouvelle sim- 

 plification de la présente théorie de convergence, et qui doit trouver sa 

 place dans les Traités élémentaires. Du reste, j'ai trouvé le théorème, sans 

 avoir connaissance de la Communication de M. Rummer, comme consé- 

 quence d'un autre, que voici : 



)) La série à termes positifs lu„ sera convergente si l'on peut trouver une 

 fonction positive A„ qui, à partir d'une certaine valeur de n, satisfait à l'iné- 

 galité 



4 _ A 



» Les autres remarques de M. Cesaro proviennent peut-être de ce qu'il 

 n'a pas observé que le mot convergente a été omis dans le passage sui- 

 vant : 



» Etant donner une série quelconijue convergente à ternies positifs Zw„, il 

 71 y a aucune difficulté de démontrer que l'on peut toujours trouver un a„ satis- 

 faisant à l'inégalité { i ) et que l'on peut même choisir a„ d'une telle manière que 



V' — soit divergente. 



» Il est d'ailleurs évident que le passage cité serait une simple absurdité 

 sans ce mol omis. Je prends ici l'occasion de corriger une autre erreur 

 typographique : 



» Page ~io, ligne li en remontant, remplacer n^n par //$/('. 



