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 » De même, A , clanl encore égal à un polynôme du second degré à la 

 surface E.., on devra avoir à l'extérieur de Eo 



les A' élanl de nouveaux coefficients constants. 

 » On a donc l'identité 



(I) ;vA„s„M„N„ = yA;s:M:N;,, 



et c'est cette identité qui ne peut avoir lieu que si E, et E^ sont homofo- 

 caux. A vrai dire, l'identité (i) n'est démontrée que pour les valeurs 

 réelles de x, y et s, et quand le point (-t, J, ^) est extérieur à E^. Mais, 

 quand deux fonctions analytiques sont identiques tout le long d'une ligne 

 continue, elles restent identiques pour toutes les valeurs réelles et imagi- 

 naires des variables. L'identité (i) ne souffre donc aucune exception. 



)) Cela ])osé, observons que le premier membre de (i) n'est pas une 

 fonction uniforme de x, j et :; , mais qu'il admet une infinité de valeurs, 

 lesquelles s'échangent entre elles quand le jjoint (x, y, ^) appartient à la 

 développable circonscrite aux ellipsoïdes homofocaux à E,. 



» De même, le second membre de (i) admettra une infinité de valeurs 

 qui s'échangeront entre elles quand le point (x,y, z) appartiendra à la dé- 

 veloppable circonscrite aux ellipsoïdes homofocaux à Eo. 



» Mais, les deux membres de (i) devant être identiques, ces deux déve- 

 loppables devront coïncider, ce qui prouve que E, et Ej sont homofocaux. 



c. Q. F. n. 



» Une question se pose alors naturellement. Est-il possible d'imaginer 

 à l'intérieur du noyau solide une distribution de la densité telle que les 

 deux couches fluides prennent effectivement la forme de deux ellipsoïdes 

 homofocaux? La réponse doit être affirmative. 



» Le résultat obtenu dans cette Note j)eut être généralisé de la façon 

 suivante. Si un noyau solide quelconque est recouvert de n couches fluides 

 superposées, et que tout le système soit animé d'un mouvement de rota- 

 tion commun, si la surface extérieure de la dernière couche fluide ainsi 

 que les surlaces de séparation de deux couches fluides consécutives sont 

 toutes des ellipsoïiies, tous ces ellipsoïdes sont homofocaux. » 



