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» D'autres recherches donnent, comme je le vais expliquer, la réduction 

 générale de l'équation (i) à des problèmes de cette espèce. 



» Je rappelle d'abord qu'un invariant de l'équation proposée s'obtient 

 par la formule 



*3 = a.^a\ - - a, a., i- a, (a, a,, — UiU.^ } -;- •ia..{ài ~ a^a.,)^ 

 où les coefficients a^,a.^. ... entrent avec leurs dérivées; la substitution 



(2) Y, = — («, y- + 2a. r), 



dont j'ai fait usage pour mettre ce fait en évidence (^Comptes rendus, 6 sep- 

 tembre 1886), change l'équation (i)en la suivante 



(3) 2*, V — r/— 27,- - r, ( -! ^^ '— I + ■za.a,, --.^- o; 



d'où l'on pourrait éliminer l'inconnue primitive sans différentiations nou- 

 velles; mais la relation principale dans cette théorie est du second ordre 

 en et de la forme 



(4) ■/)"-!- 3(p,-i + P.)V+ Y,-/i' ^ ^^i..-fr H- 3v3-^ + y, - o ; 

 déduction facile des précédentes, elle a, en posant, pour abréger, 



.s, ia\ — 3 «I r/3 a\ -f- 10% — Gi'/, n'., 



(5 = -^ -f- = ■> -J. — — ' 1 



S~ «I «1 



ses coefficients exprimés ainsi 



; 3 p, = - 5, 3 [i^ =-- - (^ + y.)' ï> "= -' ^T^^ ^^ -h x, 



(5) ! 3y3= -J-[«,(5'-^ - 5^') + 2a2(rt,rt., — 5,,)]. 

 f y j = 2 [ a, a^ -î — (a, a, )'+«., .v., ] ; 



la valeur qu'y prend le rapport '-— en est un caractère essentiel : c'est le 



seul dont dépende la transformation qu'il me reste à faire connaître. 



» Elle s'effectue en introduisant une inconnue nom^elle Y, définie par 

 la relation 



ou par celle-ci 



(6) 2A, [V— 2-/)= + 3(^or,J — n/<j -h ~\ ^■- o, 



