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combinaison dont l'intégrale ne contienne qu'au premier degré les con- 

 stantes arbitraires. 



» La méthode employée rattache l'équation (4) elle-même aux équa- 

 tions différentielles linéaires; je me propose de montrer ailleurs comment 

 se reconnaissent les équations susceptibles de prendre la forme (4) par 

 une substitution de ce type 



x, — '!f{x,y), j, =z,i(.:r, j) 



et comment ensuite la substitution convenable est obtenue sans diffi- 

 cultés. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fondements du calcul asymplotique. 

 Note de M. E. Cesaro, présentée par M. Hermite. 



« Soit 



f{a)+f{b)+f{c)+...=.V{n), 



où, suivant l'habitude, a, b, c, ... représentent les diviseurs de n. Nous 

 allons démontrer que, si la série 



(') /(o + ^A^) + 3./(:3)+... 



est absolument con^>ergente, la fonction f est moyennement nulle, et la fonc- 

 tion F est égale, en moyenne, à la somme de la série. Si l'on désigne par o-,, 

 la somme des n premiers termes de la série, on sait que, pour n infini. 



lim - (c, + r;^ H- . . . 4- (7„ ) = limc„ = i . 

 Cela revient à écrire 



iimj(i + ;;).„-;;[/(. )+/(.)+. ..+/(«)]j--. 



d'où l'on déduit 



limi[/(0+/(^)+- + A'«)]-o. 



» Si, dans la tlernière parenthèse, on réunit les termes positifs en une 

 somme a„ et les termes négatifs en une somme — jî„, on peut écrire 



Uni j (y.„ - [i„) = o, lim y^ (y., + p„) = o. 



