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 Cela étant, on ;i, par un théorème connu, 



lin. ^ i [(-■ .- .)' - .■'!<S. ^ lim fi^^i^^ S„ = ^ 

 Par suite, 



Donc, si la/onction F(/i) est moyennement égale à n, la fonction n'¥(n) est 

 asymptotique à en''. 



» Il ne serait pas difficile de parvenir à une proposition plus générale, 

 en se basant sur un théorème d'Analyse, qu'on peut considérer comme une 

 généralisation nouvelle d'un important théorème de Cauchy. Si l'on prend 

 une série divergente à termes positifs, u, -h ii, -h u^ -h..., on sait que, pour 

 7/ infini, 



lim-i-J — ^-^~ '—^ = lima„, 



K, + «2 -H . . . + M„ 



pourvu que le second membre existe. Mais le premier membre peut exister 

 sans qu'il en soit de même du second, et il est certain que cela arrive 

 lorsque les nombres a, sans tendre vers une limite, ont une valeur movenne 

 finie et déterminée, et que la série des ii jouit de la propriété 



Jmi«| I '—^ I = ^^o. 



K =00 



Il y a plus : la limite de l'expression considérée est précisément la valeur 

 movenne des nombres a. Il faut remarquer que ce dernier fait ne se pro- 

 duit pas pour tontes les séries u; il suffirait, pour s'en convaincre, de sup- 

 poser u„ = r", r > V . Soit donc, pour n infini. 



lim -(rt| -f- fl. -t-. . . --a,,) — !, 

 ce qui permet de poser 



/.■A,.l/„ . |. 



On a identiquement 



y a,u,~ h y y,//, 4- ( r/, -f- flo -\ 



