( iG56 ) 



du div 



conditions étant remplies, le quotient — — ^— ^ (où p dcsignc la deiisitc) 



est indépendant du temps et constant pour chaque ligne de tourbillon, 

 mais il varie en général d'une ligne de tourbillon à une autre. Si, à un in- 

 stant quelconque, il a même valeur pour tontes les lignes de tourbillon, 

 il reste constant à la fois dans le temps et dans Tespaco. Quand le lluidc 

 est incompressible, cette condition revient à supposer que les tourbillons 

 sont représentés par les vitesses des divers points d"un solide tournant 

 uniformément autour de l'axe. Admettons tpi'il en soit ainsi, et cherchons 

 alors à déterminer les conqtosantes de la \itesse. D'abord le produit cr =:: c 

 est constant, ce cpii fait connaître v. D'autre i)arl, en désignant |)ar k un 

 facteur constant, on peut écrire 



Ou (Jii / 



— — — ^ ikr. 

 as âr 



L'h\polhése de l'incompressibilité donne, en outre, 



du àw u 



-p- -f- -r: + - = o. 



Or Oz r 



et ces deux équations sont vérifiées si l'on pose 



11= - -^, w = - Ar r - » 



/ Oz r Or 



la fonction o étant assujettie à la condition 



O-o t>-ç 1 0'-^ 



IJz* ^ ôr^ ^ 1- Or ~ ^' 



» Sans aborder ici l'examen de rinlegrale générale de cette dernière 

 équation, nous signalerons seulement les solutions simples 



^ = h[(z + a)'- — r-\o^i\ et o = b \j r' + {z ->r- ay , 



où « et 6 désignent des fonctions quelconques du tenq^s. 



» En prenant la seconde solution et réduisant a ci b [\ des constantes, 

 pour avoir un mouvement permanent, on voit sans peine que les trajec- 

 toires sont situées sur des surfaces de révolution, algébriques et du huitième 

 ordre, et que les points où le mouvement est ascendant sont séparés de 

 ceiix où il est descendant par une surface de révolution du sixième ordre, 



