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 M Cela posé, toute substitution orthogonale eiïcctuce sur les «, définit 

 un mode (le transformation des points de l'espace, et cette transformation 

 conserve les angles, car le carré de l'élément linéaire a pour expression 



, , i/ii'i ^- dii'i -(- diiî -(- fil/; 

 ( I, \ as- = j— -r 



» Il est, du reste, aisé de prouver qu'une pareille transformation est 

 équivalente à un certain nombre d'inversions. On xoit donc (|u':i tout 

 c'roupe d'ordre fini de substitutions orthogonales à ([ualre v:niables on 

 peut rattacher une division régulière de l'espace en tin niind)i-e //VjmIc ré- 

 gions R„, II,, ...,R,, ...,Ra_,, telles que la région il so déduit d(> la région 

 Ro par une suite d'inversions. 



» Parmi les divisions de rcs|)ace ainsi obtenues, il y a lieu de considérer 

 tout particulièrement celles où les régions sont des tétraèdres à faces 

 planes ou sphéri(|ucs, doux tétraèdres cpii ont une face commune étant sy- 

 métriques par rapport à celte face; tous ces tétraèdres se déduisent alors 

 dfe l'un d'eux en prenant le symétrique du premier par rapport à une de ses 

 faces, puis le symétrique du nouveau tétraèdre, et ainsi de suite indéfini- 

 ment. On obtient de pareilles divisions de l'espace en prenant les plans de 

 symétrie d'une double pyramide ou d'un polyèdre régulier et une sphère 

 orthogonale; ou encore, en prenant m sphères passant par un cercle (1 et se 



coupant sous des angles égaux à — avec n planspassanl pai l'axe du cercle C 

 et faisant entre eux des ançles éjjaux h '• Vax dehors de ces solutions, qu'il 



est facile d'apercevoir, il n'existe que cinq divisions de l'espace répondant 

 à la question; les tétraèdres sont respectivement au nombre de 120, i()'2. 

 'i84, 1112, 14400, et les sphères auxquelles apparliciinenl les faces sont 

 respectivement au nombre de 10, 12, iG, 24, Go. 



>) Les divisions précédentes de l'espace peuvent être rattachées aux 

 figures régulières de l'espace à quatre dimensions; on retrouve ainsi très 

 simplement les six figures régulières découvertes par AI. Sfringham. Mais 

 on peut aller plus loin et, en suivant la méthode de Foinsot, on démontre 

 l'existence, dans l'espace à quatre dimensions, de figures régulières analo- 

 gues aux polyèdres réguliers étoiles de l'espace à trois dimensions. 



» Ces résultats, que je ne puis qu'indiquer ici, sont complètement déve- 

 loppés dans un Mémoire qui sera publié prochainement. » 



