( 1789 ) 



ALGÈBRE. — Sur la relalion qui existe entre p fondions entières de p — i va- 

 riables. Note de M. R. Peiiuix, présentée par M. Halphen. 



« Soient u, v, w, ... p fonctions entières quelconques de p ~ 1 variables 

 (^ non homogènes) ,r,r, s, ...; R leur résultant. Désignons par m,, ç-,, w,, ... 



co qu'elles deviennent pour a? = ^,, j=j',, 2 = ^,, Les équations 



u — u^=^o,i> — i>, = o, w — tv, = o, ... admettent le système de solutions 

 communes (x,,y^,:■,, ...); leur résultant R, est donc nul. Mais, pom- 

 déduire R, de R, il suffit de remplacer dans R les termes tout connus a, h, 



c, ... de «, v^ n>, ..., respectivement par a — u^, b — i>,, c — ir,, On a 



donc, en développant R, par la formule deTaylor et l'égalant à zéro, 



» D'ailleurs a?,, y, , s,, ... sont des valeurs entièrement arbitraires de .r, 

 y, z, ...; rien n'empêche donc de supprimer l'indice et d'écrire simple- 

 ment 



R = R,oo..."-t- Ro.o...^' + Roo....»'+--- 



+ ^(,^300.. ."' + •••+ 3R,,„MM'+...+ 6R,,,...;mv+...) 



en désignant par Ry„..., pour plus de brièveté, la dérivée partielle 



da'i db'dc'. . . ' 



» Si m, n, p, ... sont les degrés respectifs de u, c, w, ... par rapport 

 à l'ensemble des variables, on sait que R est de poids u.^^mnp..., et 



de deerés —, -, -, • • • par rapport aux coefficients de u, v, (p, ... respec- 

 ^ m n p ' 



tivement; on en conclut sans peine que la relation (0 est de degrés £, £> 

 ^, • • ■ par rapport à u, c, tr. ... respectivement, et de degré [j. par rapport 

 hx,y, z, ... ensemble. 



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