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 pour n \nCmi. Mais il faut remarquer que l'cnoncc de M. Jciiseu implique 

 l'existence (kl, cl que la ilcmonstration liahiluelledu tliéorômc de Kummcr 

 nesupposepas l'existence de a. Cette hypothèse est introduite, pour ainsi dire, 

 après coup, afin de mettre le théorème sous la forme la plus utile pour les 

 applications usuelles. M. Jensen me refuse le droit d'admettre rexistonce 

 des deux nombres dont il s'agit; mais, en relisant plus attenlivenienl ma 

 Communication, Ihouorable géomètre s'apercevra que j'ai simplement 

 voulu prouver que, si 1 et u. existent, et que 1 ne soit pas nul, y. est nul. 

 Du reste, je n'ai pas besoin d'admettre l'existence de a pour affirmer qu'il 

 existe, pour toute forme de a„, une infinité de séries, dont on ne peut constater 

 la divergence au moyen du théorème de M. Jensen, alors que cette divergence 

 résulte immédiatement de l'existence d'une limite positive poura^u,,. Les séries 

 dont il s'agit sont celles pour lesquelles a„u„ tend vers >- > o r/j décroissant 

 ou en oscillant. En effet, le théorème en question est applicable seulement 



dans le cas où la fonction a, — «„+, finit par devenir constamment 



négative ou conslammenl supérieure à un nombre positif A- . Dans le premier 

 cas la fonction a„M„ tend vers l^o en croissant. Dans le second cas, elle 

 tend, en décroissant, vers la limite 1, nécessairement nulle; car, si cette 

 limite était positive, il existerait, pour tout nombre positif X', inférieur à 1, 

 une valeur de n, à partir de laquelle on aurait, pour toute valeur dcp, 



a„u„ - a„^pU„^p > X-X:' ( -î- -t- -î- 4- . . . ^- -^ )» 



\"n+l "n-t-t "n-i-p/ 



ce qui est impossible, à cause de la diverijence de — H h - — 1-. . .. 



» Cette remarque n'a évidemment pas pour but de montrer que le théo- 

 rème de M. Jensen est inutile, mais seidement de faire voir que la règle 

 basée sur l'examen del est, dans un grand nombre de cas, tout aussi im- 

 portante que simple et efficace pour les constatations de divergence. Je 

 prends un exemple, relatif au cas de «„ = n. Soit i(n) la totalité des nom- 

 bres premiers, non supérieurs à n. La série 



1 + ^(1) , ^-5(2) 3-27(3) . 

 I ^4^9 "^■■' 



est divergente, car 



hmnu„ = I — lim -^^ — = i . 



