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 )) Pour se convaincre que le théorème de Duhamel est impuissant pour 

 cette constatation, il suffit de remarquer que la différence 



n&(/i 4-1) _ (,i + i)2?(n), 



se réduisant an — S?( >) > o ou à - i(n) < o, suivant que n 4- i est pre- 

 mier ou composé, ne peut être constamment négative ou constamment po- 

 sitive. Je citerai, plus généralement, les séries de la forme - 



oii/(n) représente la quotité des nombres entiers, non supérieurs à n, qui 

 jouissent d'une propriété déterminée. Lorsque ces nombres ne sont pas 

 infiniment rares, il est certain que la série est divergente, parce que nu,i ad- 

 met une limite 'k'^o. Cependant le théorème de Duhamel ne servira à 

 rien, à moins que la propriété considérée ne finisse par appartenir à tous 



les nombres entiers. L'expression n — (n -f- 1) tend, en effet, vers 



I — 7^0 ou vers l'unité, suivant que n jouit ou non de la propriété en 



A 



question. Je sais bien que M. Jensen trouvera toujours une infinité de 

 formes de a,^ lui permettant d'appliquer son théorème. Ainsi, pour les séries 

 considérées en dernier lieu, il pourrait prendre 



Mais je n'ai voulu parler ici, comme dans ma première Communica- 

 tion, que de chaque règle spéciale résultant du théorème de M. Jensen 

 après la détermination de a„. J'ajouterai que, pour donner à la règle gé- 

 nérale une importance effective, il faudrait d'abord savoir indiquer une 

 construction de la fonction a„, indépendante de la série particulière dont il 

 s'agit de reconnaître le caractère. Je ne crois pas qu'une telle construction 

 soit possible. Quoi qu'il en soit, il est certain que le théorème de M. Jensen 

 devient inapplicable lorsque a„Un n'admet pas de limite déterminée. Ce- 

 pendant il suffit que cette fonction finisse par surpasser quelque nombre 

 positif pour qu'il soit permis d'affirmer la divergence de 



U^ ■!- «2 H- «;!+.... 



[1 y a plus. Si les termes de la série divergente ^ + ,7; + ;;;-)-•• • l^ndent 



