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 dans I; c'est-à-dire intégrer l'équation différentielle qui résulte de l'élimina- 

 tion des accroissements entre des différentielles consécutives, en nombre égal à 

 celui des variables. Celte équation, dont celle des surfaces réglées à plan 

 directeur, et celle des surfaces réglées quelconques, fournissent les 

 exemples les plus simples, est d'un ordre égal à celui de la dernière des 

 différentielles du groupe dont on a formé le résultant. Je suis parvenu à en 

 trouver l'intégrale générale sous une forme qui n'exige plus que des élimi- 

 nations et qui renferme le nombre voulu de fonctions arbitraires de 

 variables auxiliaires en nombre inférieur d'une unité à celui des variables 

 primitives. Pour énoncer le résultat d'une manière précise, concevons 

 que l'on conserve une des variables primitives, et qu'on exprime chacune 

 des autres par une fonction linéaire de celle-là ; les coefficients de la variable 

 conservée seront les variables auxiliaires, et les termes indépendants en 

 seront des fonctions arbitraires; l'intégrale générale est alors donnée par 

 un polynôme entier par rapport à la variable conservée, d'un degré infé- 

 rieur d'une unité à l'ordre de la première des différentielles du groupe, et 

 dont les coefficients sont des fonctions arbitraires des variables auxiliaires. 



)i Le nombre total des fonctions arbitraires est donc bien égal à celui de 

 l'ordre de l'équation. Il est d'ailleurs évident que l'on peut donner à la 

 solution, une apparence plus générale, en effectuant une substitution 

 linéaire. 



» 2° Former les fonctions dont une différentielle admet une solution 

 double, c'est-à-dire intégrer l'équation résultant de l'élimination des accrois- 

 sements entre les dérivées premières d'une différentielle par rapport aux accrois- 

 sements. 



» En remarquant que, d'après II, toute solution de cette équation est 

 nécessairement une solution de celle du premier problème, on est amené 

 à rechercher les conditions, en nombre égal à celui des variables auxiliaires, 

 auxquelles doivent satisfaire les arbitraires qui entrent dans le type général. 

 L'ensemble de ces conditions s'exprime par un système d'équations aux déri- 

 vées partielles du premier ordre. L'intégration de ces équations constitue 

 un problème d'un ordre moindre de difficultés que le problème primitif, 

 puisqu'il y a une variable de moins; il peut être ramené à de simples 

 quadratures dans le cas de deux variables. 



» La solution peut se présenter sous une forme différente en apparence, 

 mais conduisant aux mômes calculs. Si dans un polynôme entier par 

 rapport aux variables primitives, d'un degré inférieur d'une unité à l'ordre 

 de l'équation, on établit une dépendance convenable entre les coefficients 



