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considérés comme fonctions de variables auxiliaires, il suffira pour obtenir 

 la solution cherchée de substituer dans le polynôme à ces auxiliaires les 

 valeurs qui annulent ses dérivées premières par rapport aux auxiliaires. 



» L'intégration de l'équation des surfaces développables, c'est-à-dire de 

 l'équation qui exprime que la deuxième différentielle d'une fonction de 

 deux variables, a une sokition double, offre l'exemple le plus simple des 

 deux formes de solutions du deuxième problème. 



M 3° Former les fonctions pour lesquelles un groupe de différentielles 

 consécutives en nombre inférieure celui des variables admet une solution 

 double, c'est-à-dire intégrer l'équation différentielle qui exprime cette condi- 

 tion. 



)) On est amené, comme ci-dessus, à rechercher les conditions aux- 

 quelles doivent satisfaire les arbitraires du type général, pour qu'il vérifie 

 cette nouvelle équation. Le nombre des conditions est i, 2, 3, ..., sui- 

 vant que le nombre des différentielles considérées est inférieur de i, 2, 

 3, . .. unités au nombre des variables. N'étant plus guidé ici par l'analogie 

 avec le cas relativement facile de deux variables, ce n'est qu'après de longs 

 tâtonnements que j'ai réussi à former les équations qui les expriment. Il 

 ne m'est pas possible de donner une indication sommaire de la méthode 

 que j'ai suivie, bien qu'elle ne soit pas très compliquée et qu'elle s'ap- 

 plique avec simplicité au cas particulier qui constitue le deuxième pro- 

 blème. Je dirai seulement que, dans cette discussion, un rôle qui me paraît 

 essentiel appartient au déterminant des fonctions arbitraires des variables 

 auxiliaires, qui sont les termes indépendants des expressions des variables 

 primitives par l'une d'entre elles. 



» Les jjrobièmcs plus compliqués, tels que ceux-ci : Former des fonc- 

 tions pour lesquelles un groupe de différentielles en nombre égal à celui 

 des variables admet plusieurs solutions communes (on pourrait dire qui 

 admettent plusieurs modes de générations distincts du type défini ci-des- 

 sus); former des fonctions pour lesquelles un groupe de différentielles, en 

 nombre inférieur à celui des variables, admet une solution multiple d'un 

 ordre supérieur à 2, ou plusieurs solutions multiples; former les fonctions 

 de plus de deux variables pour lesquelles deux différentielles consécutives 

 ont un facteur commun, ou bien pour lesquelles une différentielle admet 

 un facteur multiple, et d'autres encore d'un caractère plus particulière ), 



(') M. Appell a bien voulu me signaler et me résumer un Travail de M. Darboux, 

 que je n'ai pu encore étudier, sur une question qui louche par un côté à celles dont 



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