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se ramènent tous, non plus à l'intégration d'une équation unique, mais à 

 la recherche de fonctions qui vérifient simultanément plusieurs équations 

 à une seule inconnue. 



» Ces problèmes constituent un ensemble trop vaste pour être traité 

 d'une manière générale; mais la méthode suivie ci-dessus conduit naturel- 

 lement à des solutions nombreuses et assez étendues; je réserve à une 

 lettre ultérieure l'énoncé des principaux d'entre eux. 



» Les propositions énoncées au début de cette Note, et les problèmes 

 qui s'y rattachent, pourraient s'énoncer plus brièvement, si l'on voulait 

 employer le langage de la Géométrie à n dimensions. En se restreignant 

 à la Géométrie ordinaire et aux fonctions de deux variables, et en consi- 

 dérant ces deux variables et la fonction comme les coordonnées (recti- 

 lignes ou curvilignes) d'un point de l'espace, on obtient une interprétation 

 géométrique qu'd me paraît intéressant de signaler. 



)) On sait que, si une famille de courbes planes ou gauches dépend de k 

 paramètres, il est, en général, possible de trouver, pour chaque point d'une 

 surface, plusieurs courbes de cette famille qui aient avec elles, en ce 

 point, un contact de l'ordre k — i. Cela posé, il existe un nombre illimité 

 de pareilles familles, pour chacune desquelles on peut affirmer les deux: 

 propriétés suivantes, qui sont respectivement la traduction des propo- 

 sitions I et II : 



» 1° Si en chaque point d'une surface, il est possible de trouver une 

 courbe de la famille qui ait avec elle un contact d'ordre supérieur/: — i, 

 cette courbe est tout entière sur la surface, laquelle est, par conséquent, 

 susceptible d'être engendrée par des courbes de celte famille ; 



» 2° Si parmi les courbes de la famille qui ont avec une surface en un 

 point donné un contact de l'ordre « — 2, il en existe deux qui soient tan- 

 gentes entre elles, quel que soit le point considéré, ces courbes se con- 



je me suis occupé. Le célèbre géomètre a complètement résolu le problème suivant : 

 Trouver toutes les fonctions dont une diflerentielle est divisible par la précédente 

 {Comptes rendus, 26 décembre 1881 et 27 février 1882, et Bulletin des Sciences 

 mathématiques, t. V, p. 876 et SgS). Il a généralisé ainsi la remarque de M. llermite 

 sur le développement de la racine carrée d'une fonction quadratique, et il a indiqué 

 dans quelle mesure on peut l'étendre à toutes les fonctions algébriques. C'est cette 

 même remarque de M. Hermite qui a suggéré, en grande partie, mes propres re- 

 cherches; mais la direction dans laquelle j'en ai poursuivi la généralisation me semble 

 entièrement différente de celle suivie par M. Darboux. 



