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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la délerminaiion du groupe de transforma- 

 tions d'une équation différentielle linéaire. Noie de M. F. Marotte, pré- 

 sentée par M. Emile Picard. 



« I. La recherche du groupe de transformations défini par M. Picard 

 pour une équation différentielle linéaire d'ordre n exige la résohition 

 préalable des problèmes suivants : 



» 1° Détermination de tous les groupes de transformations linéaires homo- 

 gènes algébriques à n variables. — Les travaux de MM. Klein, Jordan et Lie 

 font connaître, pour n = 2, 3 et 4, tous les groupes discontinus et continus; 

 il serait facile de déterminer les groupes mixtes. 



» 2° Former pour chacun de ces groupes un système caractéristique d'inva- 

 riants différentiels. — Lorsque les équations du groupe sont connues, ce 

 problème n'exige que des éliminations; on trouve ainsi les invariants 



a = 9(j,, ...,J«.>V ••■)' '' = Kj-' •••'.y»'/.' •••)' 



qui sont fonctions rationnelles de j,, . . ., 7„ et de leurs dérivées jusqu'à 

 l'ordre n. 



» De plus, on peut form.er, par élimination, les résolvantes dont dé- 

 pendent les invariants u,v, . . ., considérés comme fonctions de x. 



^{x,u,u', ...) = o, W{x,v,v', ...) — o, 



» 3° Rechercher enfin les intégrales rationnelles de ces équations. — Or 

 elles font partie d'une classe remarquable d'équations différentielles étu- 

 diées par M. Painlevé {Comptes rendus, juillet 1894)- 



» L'intégrale générale de l'équation $ s'écrit en effet 



U = <p(Y Y„, y; ,...) = 9(2rt,A Ja, • • -, ^««/, JA, • . ., S«,a71. • • •)' 



où les j sont des intégrales particulières déterminées de l'équation linéaire 

 considérée ; l'intégrale générale U est donc une fonction rationnelle connue 

 des constantes arbitraires. 



» M. Painlevé a démontré que l'on peut, par une transformation algé- 

 brique connue, ramener l'équation en u à une équation linéaire et en cal- 

 culer effectivement toutes les intégrales rationnelles ou algébriques à un 

 nombre donné de branches; la détermination de toutes les intégrales algé- 

 briques exigerait l'étude de quadratures. 



