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» Ces résuUats résolvent donc complètement la question suivante : 



» Reconnaître si une équation linéaire donnée admet comme groupe de 

 transformations un groupe donné. 



)) II. Il est nécessaire d'expliquer le sens qu'il faut attacher à l'expres- 

 sion groupe donné dans l'énoncé précédent. 



)) Il faut entendre par là que toutes les constantes entrant dans les 

 équations du groupe sont connues numériquement. Un exemple nous per- 

 mettra de préciser davantage ce point. 



» Supposons que l'on veuille savoir si l'équation 



admet comme groupe des transformations le groupe 



(g) Y, = /^j., Y, = ^V.. 



oùp et q sont des entiers. 



» Ce groupe a pour invariants différentiels caractéristiques 



y\ /. .Il, 

 3^' 3^' rf 



et il nous est toujours possible de reconnaître si l'équation (i) admet deux 

 intégrales >', et y.^ dont les dérivées logarithmiques sont rationnelles et 

 d'en calculer les valeurs 



» Si maintenant les entiers p et q sont donnes, on peut toujours recon- 

 naîtie si — est rationnel et savoir ainsi effectivement si le groupe de trans- 



y' . , 



formations est g. Mais <i p el q sont inconnus la détermination du groupe 

 est ramenée au j)roblème suivant, que l'on saura résoudre dans un grand 

 nombre de cas : 



» A. Trouver deux nombres entiers /> et q tels que 



soit une fonction rationnelle de x. 



» L'énumération de tous les types de groupes linéaires homogènes à 

 deux variables conduit au résultat suivant : 



» Le théorème de M. Painlevé permet la détermination effective du groupe 



