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 cette multiplicité [c'est-à-dire ce que j'ai appelé dans un travail anté- 

 rieur (') une mulliplicité Ml_^], on définit de ce chef une multiplicité in- 

 tégrale à n dimensions de l'équation proposée. La multiplicité initiale M',_, 

 peut ^être définie en se donnant z, a„, p„ arbitrairement en fonction de 

 X,, ..., x„_, ; pt, . .., Pa-, étant déterminées \n\r les relations 



â^.=^' + /'«^ 0=., 2,. ..,«-,). 



» Pour qu'il y ait indétermination, il faut et il suffit que les fonctions z, 

 Xn, Pn vérifient les conditions 



(■) 'fÏA,felf;-Ïv2-f;'+A„ = o. 



p=l /=1 p=l 



p = 1 ; = 1 p = 1 



ri 



Nous dirons alors qu'on a affaire à une multiplicité singulière M.]^_ 



» Voici comment on pourra, dans les circonstances générales, définir 

 ces multiplicités singulières. On prendra x^ arbitrairement en fonction de 



X,, ..., x„_, ; l'équation (i) donnera />„ en fonction de z, ^, ■ • , ^^;j^' 



et l'équation (2) donnera une équation du second ordre en :;, et linéaire 

 par rapport aux dérivées du second ordre de =. 



» 2. Étant donnée une multiplicité singulière M',_,, elle sera placée sur 

 une infinité de multiplicités intégrales : les orientations des éléments du se- 

 cond ordre de ces différentes intégrales sur la multiplicité singulière sont assu- 

 jetties à vérifier les équations 



àp? , _ dXn 



'■P?'^^^''ë' (p= >,^' ■••'". i = i,-2,...,n-- i), 



n-l n— 1 



/a\ V V \ fàp„„ d.r„ dp,,,. aa:„\ V A "P"" 



(3) >,2-^f'\^rf:?7^^Â^^pJ ^ P"^^?' 



n~\ n-i 



-•+. 



p=l 1=1 



» Il en résulte que, si deux multiplicités intégrales ont en commun une 

 multiplicité singulière M^,_,, et si elles ont, en un point de M,',,, les mêmes dé- 

 rivées du secondordre, cela aura lieu le long d'une courbe (multiplicité à une 

 dimension), qui est précisément une caractéristique de l'équation (J). 



(') Annales de l'École ISormale, Supplément, 1896. 



