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d'une condition d'inégalité, nous devons ajouter celui-ci, non moins im- 

 portant : cela n'est possible que si les données elles-mêmes vérifient des condi- 

 tions du même genre. 



» Or, ces deux remarques paraissent constituer une loi très générale et 

 dont on connaît déjà de nombreux exemples, sans cependant les avoir 

 reliés entre eux. Par exemple, trouver une fonction de variable réelle ad- 

 mettant des dérivées données pour s = o est un problème indéterminé; on 

 peut le déterminer en ajoutant que la fonction est analytique et régulière 

 dans le voisinage de s = o, mais seulement dans le cas où les valeurs don- 

 nées des dérivées rendent convergente la série de Taylor. 



» J'indiquerai aussi le problème des moments, traité par Stieltjes dans 

 son beau Mémoire sur les fractions continues (^Annales de Toulouse, 1894); 

 ici l'inégalité qui détermine, dans certains cas, le problème, est l'hypothèse 

 que les masses sont positives. Ce problème de Stieltjes est d'ailleurs rendu 

 particulièrement intéressant par le fait qu'il permet de jeter une lumière 

 nouvelle sur le rôle de certaines séries divergentes : c'est là un point sur 

 lequel j'aurai sans doute l'occasion de revenir. 



» Enfin, un autre exemple bien connu nous est donné par les séries de 

 Fourier : la connaissance de leurs coefficients permet de déterminer la 

 fonction, si l'on sait que celle-ci est développable, à condition, bien entendu, 

 que les coefficients rendent la série convergente. Le cas où elle serait diver- 

 gente, soit en certains points, soit en tous les points, n'a pas été, je crois, 

 examiné jusqu'ici. 



» Je vais indiquer brièvement, en choisissant, pour fixer les idées, ce 

 dernier exemple, la relation qu'il y a entre ces remarques et les propriétés 

 des fonctions entières. Posons 



f(^z)^ I <f{x)e''^ dx, 



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et supposons que la fonction o (a;) satisfasse aux conditions de Dirichlet. 

 Dés lors, si l'on connaît les valeurs de /( = ) pour - = o, ± i, dz 2, . .., la 

 fonction (f{x) est déterminée et par suite la fonction entière y(5) est 

 connue sans ambiguïté. On remarquera qu'il résulte de l'expression dey"(:;) 

 sous forme d'intégrale que c'est une fonction à croissance moins rapide que 

 sin^::, mais à croissance plus rapide que sin-(i — i)z, quelque petit que 

 soit t. Tout cela est en parfait accord avec les remarques faites au début 

 sur les fonctions entières. 



» Je pense que ces exemples, malgré le peu de développement que je 



