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s'exprimer rationnellement à l'aide des (n + i) variables y,, . . . , y„, z, liées 

 par une relation 



oïl s est lin polynôme en s, y, , . . . , y„ qui, de même que les X, Y, dépend 

 anahtiquement de a?, j:, , . . . , x,,,. Etudions les intégrales premières d'un tel 

 système algébrique par rapport à y,, .... y„. On voit immédiatement qu'on 

 peut supposer ces intégrales rationnelles par rapport à j', , . . . , y„, z ; soit 



(2) C = R(-,,v,, .... y„..r,-t- .r„,) 



une telle intégrale, de degré 'i en z, y^, . . . , y„. Proposons-nous de déter- 

 miner toutes les intégrales (2) (de degré v) d'un système (i) donné. 



» Deux cas sont à distinguer, suivant que le système (i) admet ou non 

 des intégrales premières de la forme 



(3) F{x, X,, . . .,x„,) =^ conat. 



» Premier cas. — Le système (i) n'admet pas d'intégrales premières de la 

 forme (3). 



» Les intégrales cherchées (2) ne sauraient dépendre que d'un nombre 

 fini de paramètres arbitraires, et leurs singularités non j^olaires sont Jixes 

 (indépendantes de ces paramètres). Ces singularités, ou bien coïncident 

 avec les singularités des X, Y, ou bien sont données par une relation 



Yii{x,x,, . . .,x„) = o 



qui est une intégrale première particularisée du système. Si les X, Y sont 

 algébriques en x, x^, . . ., r,,, il en est de même de H. 



» Il suit de là que les intégrales (2) dépendent de l'intégration d'une 

 équation différentielle ordinaire (E) à points critiques et essentiels fixes. A 

 priori, l'intégrale générale de i'équalion (E) peut renfermer ses con- 

 stantes algébriquement ou sous forme transcendante. Dans la première 

 hypothèse, (E) s'intègre par quadratures ou se ramène à une équation li- 

 néaire. Cette première hypothèse est sûrement réalisée dans le cas où m 

 est nul, et, dans le cas où (les X, Y étant algébriques) l'intégrale générale 

 de (i) est algébrique. 



» Deuxième cas. — Le système Çi) admet des intégra/es premières de la 

 forme (3). 



)( Soitj le nombre des intégrales (3) distinctes (i<m) : leur détermina- 

 tion dépend d'une équation difïérentielle ordinaire d'ordre /, soit (E'). 



» Ees intégrales (2), s'il en existe, renferment des fonctions arbitraires. 



c. R., 1897, I" Semestre. (T. CXXIV, N» 3.) l8 



