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Une fois intégrée l'équation (E'), leur détermination dépend d'une équa- 

 tion (E) à points critiques et essentiels fixes . 



» Etudions maintenant les intégrales premières particularisées A&(^i^; soit 



(4) P(s,r.> •••.j«; ^.«^.' •■■,x„,)=z o, 



où P est un polynôme de degré v en z, y^, • ■ •. /«. dont un coefficient est 

 égal à I . Lors même qu'on se trouve dans le premier cas, ces intégrales (4 ) 

 peuvent dépendre de fonctions arbitraires. Mais leurs singularités satis- 

 font à certaines conditions qui jouent un rôle très important dans la re- 

 cherche des intégrales premières de la Dynamique. Convenons d'ap- 

 peler sur/ace intégrale de l'espace (x, œ,, . . ., x,„) = o, toute rela- 

 tion K (a*, .r, , . . . . x,„) = o, telle que les égalités 



„ dK dH d.r, dK dx,„ 



soient vérifiées identiquement par toute solution de (i) qui les vérifie pour 

 une valeur x,^ de x. Soit maintenant H(a7,ir,, ..., a7„,) = o une relation 

 analytique qui définit une singularité (isolée) de P, singularité distincte de 

 celle des X, Y. Deux cas sont possibles : 



» 1° Si cette singularité est transcendante, H := o est nécessairement w«e 

 surface intégrale; de plus, la singularité ne saurait être essentielle. 



» 2° Si la singularité est algébrique ( ' ), ou bien H = o est une surface inté- 

 grale, ou bien la condition suivante est remplie : remplaçons, dans H, les 

 variables a?, , . . ., x„, en fonction de x et des valeurs initiales aî", a;", . . . , 

 ^m' J°' • • • ' Jm! '^'^^^ H, (a;) la fonction de a; ainsi obtenue; éliminons a; entre 

 H, — o, '^-~ — o, et soit S (a;", x\, ... , a:," , y% . . ., j," ) = o le résultant; 



la relation S{x. x,, . . . , x„^, y, }'„,) = o doit être une conséquence 



deP = o. 



M Enfin, si la singularité H ^ o est singularité pour toutes les branches 

 de P, elle est nécessairement algébrique et vérifie la dernière condition 

 énoncée. 



» Considérons notamment un système ( i ) de la forme 



^^^ rfT-^'' ^i - Q(^-;, ...,<, x„ ...:.rj {1-1,1,.. ..n), 



oii les Pj et Q sont des polynômes en x\, . . . , x\^. Cherchons à déterminer 



(') On la suppose critique: si elle était simplement polaire, on la ferait aisément 

 disparaître. 



