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l>,, P„ = fonctions uniformes, régulières en w, avec 



P,(o, o, .. ., o) = P„(o, ..., o) = o. 



» Si les deux séries P, et P^ sont premières entre elles (au sens de 

 Weierstrass), co sera pour X un point d'assez profonde indétermination, 

 que nous nous proposons d'évaluer. La valeur X^ de X en «o sera, par défi- 

 nition, la limite vers laquelle tend X, quand X, tend vers w. Seulement X„ 

 dépendra de l'itinéraire ItU, suivant lequel X, tendra vers to. 



» Il y a avantage à employer le langage géométrique et à considérer plu- 

 sieurs fractions telles que P, : P„, munies d'un même dénominateur P^. On 

 supposera d'ailleurs ft = o^= o. 



» Soient donc dans un espace E,, à N dimensions les coordonnées homo- 

 gènes Ey,y = o, I , . . ., N, d'un point \. Les relations 



pçy= F^ (}', .T,, . . ., a?,._,), p = facteur de proport., | 



F^=: fonction uniforme, régulière en co, avec Fy(o, ..., o) = o j 



(o) 



définissent, quand ï, parcourt E^, une variété S^ à r dimensions située dans 

 Epj ; S^ est le lieu du point \ image de C- Quelle est l'image Q. (r) du point o> 

 lui-même? Ce sera par définition la figure constituée par l'ensemble des 

 positions limites^, vers lesquelles tend E, quand ^ tend vers u>, suivant 

 tous les itinéraires possibles ID de E^. La construction de£2(/') se nom- 

 mera le problème [r], notation qui met en évidence le nombre des dimen- 

 sions de E^. 



)) J^a solution de [ i ] est immédiate. J'ai déjà résolu les cas [2] (Comptes 

 rendus, 1 1 novembre i8g5; Rendiconti du Cercle Mathématique de Païenne; 

 1896) et [3] (Comptes rendus, 9 et 3o décembre 1895). Les procédés pré- 

 cédents ne réussissent plus pour /-^ 3. La méthode de réduction succes- 

 sive pour la shigularité de co, qui a résolu [3], ne se laisse plus formuler 

 avec quelque précision. Quant à la méthode directe qui a servi pour [2}, 

 elle ne donne plus rien, et voici pourquoi. 



» On a pris pour point de départ la décomposition de Fy en facteurs de 

 la forme y — -n, 'd étant racine de Yj{r,,x^, . . ., x^_^) = o. Pour /• = 2, on 



sait que -t] est holomorphe en x\ s entier positif (M. Poincaré; Thèse inau- 

 gurale^; mais pour r>2, on ignore l'expression nécessaire de -r,. A la 

 vérité, M. Kobb (Journal de Mathématiques; 1892) a, lorsque Fy est un 

 polynôme, représenté les r variables t\ et Xi par ;■ séries à /■ — i variables 

 auxiliaires u. Seulement il entre dans le choix des u une très large dose 



