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» C'est la généralisation du théorème sur le nombre fini des nadirs, 

 démontré (Comptes rendus, 3o décembre iSqj) lorsque les Fy sont des po- 

 lynômes. » 



ANAT.YSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries de Taylor. Note de M. Eugène 

 Fabry, présentée par M. Darboux. 



« M. Borel a démontré {Comptes rendus du il\ décembre 1896) qu'une 

 série Sa„=", dont les coefficients sont arbitraires, a pour coupure son cercle 

 de convergence. Ce théorème peut encore se déduire des méthodes que 

 j'ai indiquées pour la recherche des points singuliers {Annales de l'Ecole 

 Normale, octobre 189G). 



» Le rayon de convergence étant égal à i, soit 



'^m{n = a,„ + a,„^a -p^ + . . . + a,„^,t jp^rr^T^jT^rV) 



_^ I P_ , , „ 1 p(/^-i)---(/^--^ + i) 



■ ""'-' t m ~^" ■■"^ '"-'i^ m(w — i)...(m — v-hi) 



OU p est un nombre entier tel que ^ tende vers i , v le plus grand nombre 

 entier inférieur à Im, o << >. < / < i . 



» Si "\l\<fm(te'^')\ a poui" limite supérieure i, pour m = 00, le point 

 3 = e"' est singulier. 



» Soit k un nombre entier supérieur à Im; on a 



' ~ ' / / 2 H TU \ \ 



^ojte'"^^'^^ ) =ka,„. 



» Parmi les k arguments w + — "— , il y en a donc au moins un tel que 



1 9m('^e"'')l^la,„l, et cette inégalité est vérifiée pour une infinité de valeurs 



de co'. 



LA 

 » Soit Â,„ une quantité positive telle que — - tende vers o. On pourra 



choisir A„,<|a,„l, à condition de ne jamais prendre pour o„,{t) certaines 



suites de A'aleurs de m, pour lesquelles '"'"' ne tendrait pas vers o. On 



pourra, par exemple, prendre A,„= e '''", sauf dans des cas particuliers. Il 

 existera alors des valeurs de co telles que | ç„,(i't'"")| > A,„, et à chaque va- 



