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.. Cette question revient au problème suivant, un peu plus général : 

 » Déterminer une intégrale de l'équation 



dx dy 



+ s = o, 



se réduisant pour y = oà f{x) et pour y = a? à <!^{x). 



» Examinons d'abord le cas des fonctions holomorphes dans le voisi- 

 nage de l'origine. L'intégrale peut alors être représentée par le dévelop- 

 pement en série 



j :; = ao?o(^.J)^-«^?l(^'7) + «2?2(^.r)+... + «„cp„(a:,J) 

 ^"'^ 1 +h,^h,{x,y) +h.,\.,{x,y)+...+ h„i^„{x,y). 



Les fonctions 9, et 4*, qui se rattachent aux fonctions de Bessel sont des 

 intégrales particulières définies par les conditions aux limites 



?o(o,.y) = i = 9('r,o), 

 T/(o,7) = o, (p,(a-, 0)= ■^, 



']'.(o>j) = -rf' i(^, o) = o. 



» On a 



(3) 



?/.(^.7)=277r 



i)«,r"+'P y" 



{n + p)\ n 



1 »! 



» Désignons par F(a-, 7) l'intégrale particulière qui se réduit pour y = 

 i\f(x) et pour œ = o a la constante a^ — /"(o). 

 » On a 



(4) F(^.j) = «o?o + «i?i + --- + <^«?«+---- 



Les coefficients a», a,, . . ., a„ sont les dérivées successives de /(a;) pour 

 x = o, de sorte que l'intégrale F(x,y) s'obtient en remplaçant dans le 

 développement de/(a;), suivant la formule de Mac Laurin, les éléments 



^ par les intégrales correspondantes cp„. 



» Il reste donc à déterminer la seconde ligne du développement (2) de 

 manière à avoir 



(5) <:^(x)-F(x,x)=^b,^,(x,x)-h b^^.,(x, x) f ...-\- b„'\,„(x,x) -h..., 



ce qui revient à développer une fonction holomorphe en série de fonctions 

 de Bessel. Comme loule fonction holomorphe est un composé linéaire d'élé- 



