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 sans forces, le calcul des intégrales {i) , pour des forces X, quelconques, n'exige 

 plus que des quadratures. 



» Je ne développerai, dans cette Note, que l'étude du cas où les H,- sont 

 rationnels en a-,, ..., .r„ (')(et à coefficients réels) et où les géodésiques 

 sont algébriques. 



» Systèmes (i) qui dérivent d'une force vive rationnelle en x^, ..., x^ et 

 dont les géodésiques sont algébriques. — Considérons d'abord le système (i)' 

 obtenu en annulant les X,. Je montre, en premier lieu, que toutes les inté- 

 grales premières (i) de {i)' sont algébriques en œ, x„. Soit maintenant 



(3) ?(.r\,...,x'„, .r,,...,x„) = u 



une intégrale première particularisée de (i)', où P est un polynôme homogène 

 de degré v en a;', , . . ., a;„, rationnel en a;,, . .., x„\ ona identiquement 



(=1 /=! 



» Je montre ensuite qu'il existe un nombre fini de formes linéaires £2, 

 soit îi, , i^j, . , . , Q,t, telles qu'on ait 



où k^, . . ., k/ sont des entiers positifs ou négatifs (limités en valeur absolue 

 quand on se donne v). 



» Si enfin P renferme x^, . . ., x„ sous une forme analytique quelconque, 

 soit H(.r,, ..., a"„) = o une relation analytique qui définit une singularité 

 isolée (2) de P (singularité qui n'est pas une simple singularité polaire). 

 Trois cas sont possibles (^Comptes rendus, 18 janvier) : 



» Premier cas. — H = o est une singularité des n, ; 



» Deuxième cas. — Il = o est une surface intégrale de (i)'. 



» J'entends par là que, dans l'espace x^, . . ., x„, toute géodésique tan- 

 gente à la surface H ^ o appartient tout entière à cette surface. 



)) Troisième cas. — La relation S (x\, .. , x],, x,, . . ., x„) = o, qui dé- 

 finit les géodésiques tangentes à la surface H =^ o, est une conséquence de (3). 



)i Dans les deux premiers cas, la relation H == o est algébrique et la 

 singularité H = o de P jieut être transcendante, mais non point essentielle. 

 Dans le troisième cas, H = o est une singularité algébrique de P. 



(') Tout ce qui suit sélend immédiatement au cas où les FI,- sout algébriques en 



•^1 ) • • • ) ^rf 



