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» Supposons maintenant que les forces X,, .... X„ ne soient pas nulles, 

 mais soient des fonctions analytiques dea;,, . . ., a;,, réelles dans un certain 



domaine D de l'espace réel (x x„). Je montre que les intégrales (2) 



de (i), s'il en existe, se laissent toujours mettre sous une forme où P,„ Q^ 

 sont des fondions rationnelles réelles des Xi, des X,- et de leurs dérivées, qui 

 définissent deux intégrales premières particularisées de (i)', dont le rapport 

 ne se réduit pas à une constante 



» Cas particulier. — Je ne développerai les conséquences de ces 

 théorèmes que dans le cas particulier où les conditions suivantes sont 

 remplies : 



» 1° Les {in — i) intégrales algébriques du système (i)' sont réduc- 

 tibles à la forme entière ; 2° si K (a- , .r„) = o représente la surface sur 



laquelle les n,, X, deviennent infinis, toute géodèsique qui passe par un 

 point M„, pris au hasard sur R = o, appartient tout entière à la surface 

 K = o (exception étant faite pour certains points particuliers Mo). 



» On peut alors établir ces deux théorèmes : 



)) Théorème III. — Si les forces X, sont des fonctions rationnelles (ou 

 uniformes) de ic,. . . ., a;„, toute intégrale première (2) de(i) est réductible 

 à la forme entière. 



» Théorème IV. — Si les forces X, sont des fonctions algébriques de 

 X , .T„, le théorème III subsiste, pourvu tpie chacune des relations irré- 

 ductibles H^ = o, qui définissent les singularités critiques des X,, réponde 

 aux deux conditions suivantes : 1° Hy = o n'est pas une surface intégrale 

 de (i)'; 2" le premier membre de la relation S = o, qui déOnit les géodé- 

 siques tangentes à la surface H^ = o, n'est pas décomposable en plusieurs 

 polynômes en x\, ...,x\^, irrationnels par rapport à a;,, ..■,x„ et réels 

 dans le domaine de réalité des X,. 



» Le même théorème s'étend au cas où les X, sont des fonctions trans- 

 cendantes. 



» Le système 



(4) ^=-;. ^=^'(-- ^«) 



rentre dans le cas particulier précédent. Les théorèmes III et IV s'appli- 

 quent donc au système (4). Le théorème IV peut même être élargi : il 

 suffit ici, comme on le voit aisément, pour que le théorème IV soit vrai, 

 que celles des relations \\j = o qui ne sont pas linéaires par rapport à x^, .... 

 x^ satisfassent à la condition 2° du théorème IV. 



