(2l5) 



I) On peut obtenir bien d'autres représentations analytiques des inté- 

 grales. J'ai proposé la suivante : 

 » Prenons les équations 



dxj Xi 



dt ^/i + xf-t- ... -hX;, 



(/= I, 2, . .,p). 



» En se reportant à la méthode des approximations successives dont j'ai 

 souvent fait usage, on voit aisément que, pour ces équations, les approxi- 

 mations successives conduisent à des développements convergents pour 

 toute valeur réelle de t. 



» Les développements précédents sont en réalité de peu d'importance 

 pratique, car on ne peut savoir en général par eux ce que deviennent lésa; 

 quand « augmente indéfiniment; il pourra arriver que les x ne tendent 

 vers aucune limite, ou bien les x tendront vers des limites déterminées et 

 l'on n'aura qu'une portion des courbes intégrales. 



)) Dans certains problèmes, notamment en Mécanique, la variable indé- 

 pendante, à savoir le temps, sera spécifiée, et il semble qu'il n'y ait alors 

 aucun parti à tirer de l'introduction d'une variable auxiliaire. Il en sera 

 bien souvent ainsi, en elTet; cependant, dans d'autres cas, on pourra se 

 rendre compte de la nature de la dépendance entre le temps et la variable 

 auxiliaire introduite, et, si ces deux variables augmentent ensemble indé- 

 finiment, les approximations successives pourront être utilisées. 



1) Il serait facile d'indiquer des exemples généraux ; jo préfère prendre 

 d'abord le cas particulier intéressant du mouvement d'un corps solide 

 pesant autour d'un point fixe. Les équations du mouvement sont ici 



A^ = (B - C)yr+ M5-(j„y"- z„y'), 



(i) I B§ = (C-A)/7; + M5'(.„y-.r„y"), 



où/?, q, r désignent les composantes de la rotation inst;iHtance sur les axes- 

 principaux, et y. y', y" les cosinus des angles de ces axes avec la verticale; 

 A, B, C sont les moments principaux d'inertie et (ir„,y„, ;„) les coordon- 

 nées du centre de gravité par rapport aux axes principaux. On a évidem- 

 ment l'intégrale première 



y- -+- y'- + y"" = COnst. 



