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d'où 



£5 = £3 = £, = 0,002, ii = ^î— 0,070, 



£j = 0,001, £_,=: £_2 =£_, = 000,3. 



» En résumé, la seconde loi de M. Delaunay est un corollaire d'une loi 

 plus générale et plus rigoureuse qu'on peut formuler ainsi : 



D = r/ 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales quadratiques des équations 

 de la Dynamique. Note de M. P. Pai\levé, présentée par M. Picard. 



« Considérons un système d'équations de Lagrange, 



(■) s(S)-S = ''-(- --) (■' = ■•= )• 



où T est une forme quadratique en x\, ..., .r„. La recherche des cas où 

 un tel système admet des intégrales quadratiques est un problème extrême- 

 ment compliqué, sur lequel plusieurs auteurs, notamment M. R. Liouvilic, 

 M. Stfeckel, M. Levi-Civila, M. di Pirro ont public d'importants résultats. 

 Je me propose d'indiquer ici une classe de systèmes (1) admettant des inté- 

 grales quadratiques, classe beaucoup plus étendue que celles qu'on a si- 

 gnalées jusqu'ici et qui vraisemblablement épuise la question. 



» Représentons par i,j, ...,/, m des entiers positifs quelconques dont 

 la soMuiie est é^ale à n, et soit q le nombre de ces entiers. Soit maintenant 



x,(x\ , ... .t'.;x,, ..., Xi), T, {x'.^ , x]^^', Xi^ , Xi^j), .... 



q forces vives composées la première avec les variables x^, ..., x^, la se- 

 conde avec les variables a;,^^,, . ., Xi+j Appelons enfin A le déterminant 



(pi (a? Xi), o!(^/+ ^(Vy). 9y(^/+y+...^ 7+ ^n) 



?^(a-, -r,), (?!(.r,-,., Xi^j) <?:,(^,H-y+...^/M.----^«) 



A = 



(p^ (a?, , .... a?,), 9?(^<+< • • • • • ^<+y )' • • ■ ' ?^(^<+y+...H-/+, , • • ■ , ^„ ) 



où les o^ sont des fonctions arbitrairement choisies des variables indiquées ; 

 A^ désignera le mineur de A relatif à l'élément o^. 



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