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» Posons 



et adjoignons à T, la fonction de forces U, définie par l'égalité 



j AU,=/,ra;,,...,a-,)A; 



où \fsfr sont des fonctions arbitrairement choisies des variables indiquées. 

 Le système de Lagrange (T,, U, ) admet q intégrales quadratiques distinctes 

 (ert comptant l'intégrale des forces vives), à savoir les intégrales Tj^ — \3^^= h^, 

 où l'on a 



T^-=A 



_^1 



u^= { (/, A^ +y;A^ +. . .+ /;a^) c a = i . 2, ..., ^). 



» Il suffit, pour le voir, d'emplover les ^■ariables canoniques. Repré- 

 sentons par 0,(7j,, ...,p,, X, Xi), 0o(/?,v Pi^j'^i+t< • -^^i^j) 



q forces vives canoniques quelconques, la première dépendant seulement 

 àe p^, . . .,Pi, x^, . . .,Xi, .... Les fonctions T.^ (/;,,...,/?„, a;, , . . ., ;r„) sont 

 de la forme 



(3) T^(p,,.,.,/p„;a7,,...,.z-„)=^(0,A!: + 0,A|^+...+ 0,Ai;). 



)) Je dis que les égalités (4) [où l'on regarde /?,,.. ., Pn comme les dé- 

 rivées d'une tonclion V(a7,, . . ., «?„)] 



(4) T,-r, = /* T,-u,= /v 



sont en involution. En effet, le système (4) admet une intégrale Y (x^ , . , x„) 



dépendant de n constantes arbitraires (en comptant les constantes A, 



hy), à savoir une intégrale de la forme 



V = V, (a-, , . . . , a-,-; + V, ( J7,vi , • • • , ^i+j) -+-■■■, 

 où ¥,,¥:;,..., sont des intégrales complètes des q équations 



'te' ■■•' di"'^" •••• '^''7 = 7, + /',?, + «2?; -+-••• ^ /'/?;. 



M L'intégration du système de Lagrange (T,, U,) est ramenée à l'inté- 

 gration des équations (5). 



