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» Rendons-nous compte du degré de généralité des systèmes [T,, U,| 

 ainsi définis. Tout d'abord, il est loisible, comme on le voit aisément, de 



supposer o] ^o' ^ . . . ^cp' ^ r . Ensuite la force \ive t, dépend de 



coefficients (fonctions quelconques de ^,, ...^a^,); maison peut toujours, 

 en changeant les paramètres .t,, .... x,, choisir i Je ces coefficients arbi- 

 trairement : T, dépend donc de — -, fonctions arbitraires vraiment dis- 

 tinctes. Il suit de là que T, dépend de 



lf^(q — i) + ~ fonctions arbitraires de x, ir,, 



1^^ {ç — "•" fondions arbitraires de a;,-+ , Xj+j, 



\=: (q — 1) -+- — fonctions arbitraires de a:,+y. ^,+ ,x„. 



» Le choix de la fonction de forces U augmenle chaque nombre 1 d'une 



unité. En épuisant les systèmes d'enliers (i,/ »i), dont la somme est 



égale à n, on forme des classes de systèmes (T,, U,) ayant respective- 

 ment //, ou (« — i) ou I intégrales quadratiques. 



» Enfin, il n'est pas nécessaire de supposer que les forces dérivent d'un 

 potentiel. La force vive T, étant donnée par (^\), le système (T,, X,) admettra 

 l'intégrale quadratique Tj — V(ar,, . . ., a;„) = const., si l'on astreint les 

 forces aux seules conditions 



où V est une fonction quelconque de a?,, . . ., .r„. 

 En particulier, si 7 = 2, T peut recevoir la forme 



T = [<p,(.a;,, ...,x>) + o,(a-,+ ,x^)\ 



X I T, {^a^i , F, ; X ^, . . ., r, j + ~2\-^i. < •^„ » ■'^i-t- ■^'n)- 



et le système (T,,X,) admet une intégrale quadratique (distincte cie celle 

 des forces vives) quand on a 



en particulier, quand les forces dérivent d'un potentiel de la forme 



r- . /"i ( -^n • ■ • 1 -^i ) +./2 ( ^^l + l -^n ) 



~ ?1 + ?2 



