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 a,, .. , Of,, h,, . . ., bf^ sont à distance finie; considérons le cercle C (de 

 ravon R) de surface minima parmi tous ceux qui entourent tous les pôles 

 et les zéros des termes de la séripy"(^); les zéros dey(s) sont à l'intérieur 



d'un cercle concentrique au cercle C, de rayon > où k -+- k' est 



i{k-hk') 

 la plus forte somme des degrés des dénominateurs et numérateurs res- 

 pectifs des fractions rationnelles de la série. 



» Voici une première application de ce théorème; elle est relative aux 

 fonctions algébriques. 



» Corollaire. — Soit une fonction algébrique u de la variable s définie 



par m"-+- o,(s)f/"-'+ ... +Çp (;:)«"-/'-+- . .. -I- 9„(s) = o, où o , ç^, 



. . . , (p„ sont des fractions rationnelles de z ; quand z décrit dans son plan 

 le circuit C ne rencontrant aucun pôle de cp,, . . ., o^, . . ., o„, y' |<pa| (« + i) 

 atteint sa valeur maxima pour:; = z^ et k ^ [\, z^ étant un point de C ; les 

 circuits décrits par la fonction algébrique u sont à l'intérieur du cercle P 



concentrique a 1 origine et de rayon ^^-^-^ — -'-^ • 



sin — 

 in 



» D'ailleurs, la même proposition aurait lieu si ç,, . . .. o,j, . . ., (p„ étaient 

 des fonctions quelconques; les pôles des fractions rationnelles seraient 

 remplacés par les discontinuités de ces fonctions. 



» Voici une proi)osilion analogue au théorème sur les séries de fractions 

 rationnelles : 



» Soit la fonction y(5) donnée par l'intégrale définie 



fi 



''n{t,s)di 



._ r"ii(t,s)cie 



où H(/, z) et G(/, z) sont des fonctions holomorphes de la variable réelle t 



et des polvnomes en z de degrés respectifs a et p, les coefficients des termes 



de degré le plus élevé en z de H(/, s) et de G(t, z) étant respectivement 



A(t) et B(/) différents de zéro pour toutes valeurs de t de t, à U- Si le rap- 



A( O 

 port vjy— ^ est réel et garde un signe constant pour toutes valeurs de / de t, 



à ^2, C étant un cercle de surface minima entourant les pôles et zéros de 



p .' ^ lorsque / varie dv /, à t.,, les zéros de f(z) sont à l'intérieur d'un 



cercle concentrique à C dont le rayon est ■ ''— > R étant le rayon 



•2(aH-p) 



deC. 



