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» Nous allons déduire de là avec facilité ce corollaire sur les fonctions 

 uniformes générales pour lesquelles le point à l'infini est ordinaire : 



)) Soity(s) une fonction uniforme quelconque pour laquelle le point à 

 l'infini est un point ordinaire; traçons un cercle C entourant toutes les dis- 

 continuités dey"(:;), et d'ailleurs aussi rapproché qu'on le veut du contour 

 convexe de surface minima entourant les discontinuités; soit M le module 

 maximum de /(^z) sur C, R étant le rayon de ce cercle; les valeurs de z, 

 pour lesquelles /(-) prend la valeur u, sont à l'intérieur d'un cercle con- 

 centrique à C et de rayon R\/2 ( 1 -f- ,- ^ _ ^ , j > A étant la valeur de f{z) à 



l'infini. 



» Un changement de variable bien simple nous conduira à ce théo- 

 rème : 



» Une fonction uniforme quelconque /(:;) est donnée par ses valeurs 

 le loniï d'un cercle C de rayon R; soit M son module maximum sur C. La 

 fonction /(=) étant supposée holomorphe à l'intérieur de C, et 



^=ir"/(^)^^î 



(^où a; = oc -4 Re'^, a désignant l'affixe du centre de C) étant la valeur de 

 f(^z) au centre de C, la fonction f{z) ne peut prendre une valeur quel- 

 conque u, qu'à l'extérieur du cercle T concentrique à C et de rayon 

 R 



va 1 + 



X— u 



)) Nous pouvons donner à cette proposition une autre forme : 



» Étant donnée une fonction uniforme qnelconquey(s), lorsqu'en un 



point P, au voisinage duquel la fonction est holomorphe, f{z-) prend une 



valeur A dilférente d'une quantité u, on peut fixer un cercle r à l'intérieur 



duquel certainement /(:;) ne prendra pas cette valeurs : soit C un cercle 



de rayon R inférieur à la distance de P au point singulier le plus voisin, 



M étant le module maximum de f{z) sur ce cercle; le cercle cherché r 



, , , 1 R 

 est concentrique a L, et de rayon -—- rr 



» Relativement à la position possible des points singuliers des fonctions 

 uniformes données par leur valeur sur un cercle, l'on a ce corollaire : 



)) Corollaire. — Etant donnée une fonction uniforme f{z^ par ses va- 

 leurs le long d'un cercle C de centre a de rayon R, soit M son module 



