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de h congraence x' — \^^n (mnd p), celles que, par extension, Gauss a 

 appelées racines primitives de cette congruence, et dont le nombre 

 est ?(e). 



» Par exemple, si/> = \^ ,n — 5, d'où ? = 8. on trouve que, parmi les 

 huit i-ésidus, quatre sont générateurs, savoir ± 3, ± i4; chacunde ceux-ci 

 provient de quatre racines primitives de 4i 6t d'une racine secondaire 

 appartenant à l'exposant 8. 



» Tels sont, que je sache, les résultats connus jusqu'à présent. Mais, en 

 emplovant le même module \\, si l'on prend /i = 8 et ? =: 5, les choses 

 changent de face. Les cinq résidus difîérents sont alors i, lo, i6, ]8 et 37, 

 dont les quatre derniers sont générateurs. Chacun de ceux-ci provient, in- 

 distinctement, de quatre racines primitives de /\i et de quatre autres ra- 

 cines appartenant à fZ/Verf multiples de e. Pour ne citer qu'un de ces résidus, 

 10 provient : des quatre racines primitives 6, i3, 28, 35; de la racine 18, 

 qui appartient à e = 5; de 23, qui appartient à 2e = 10; enfin de 2 et 39, 

 qui appartiennent à 4^ = 20. 



» Desiderata. — Cette intervention de multiples, intermédiaires entre e 

 et ne, de e dans les caractéristiques de quelques-unes des racines généra- 

 trices et les conditions où elle s'exerce, n'ont été, je crois, ni expliquées, 

 ni même signalées. Elles forment le sujet de mes recherches et sont une 

 conséquence du théorème suivant, où n est essentiellement un diviseur 

 de/7 — I. 



» TI. Théorème. — Lorsqu'un résidu R, de puissance n"'""^, selon le module 



premier p, est générateur, donc appartient à l'exposant e = , les n ra- 

 cines r, d'oie il provient indistinctement, appartiennent à quelque multiple ke 

 de e, le facteur entier k ayant toujours, pour quelques-unes au moins d'entre 

 elles, la valeur n, et étant pour celles qui restent, s'il y en a, un diviseur de n 

 qui, selon le cas, n'est pas le même pour toutes ces dernières. 



» Je vais : 1° Prouver que k est toujours égal à n pour quelques-unes au 

 moins des racines r; 2° Préciser le cas où il l'est pour toutes; 3" Définir ceux 

 où e n'intervient qu'avec le multiplicateur X- ^ i ; 'j" Enfin, ceux où k prend 

 plusieurs valeurs autres que n ou r. De la sorte, seront éclaircis tous les 

 points de cette question, très confuse au premier aspect. Avant tout, prou- 

 vons que la valeur k = n intervient, au moins partiellement, dans tous les 

 cas; ce qu'on sait déjà. 



» Si ^ = n, la racine r appartient à l'exposant ne; c'est une racine pri- 

 mitive de p. Elle fait nécessairement partie de celles d'où provient l'un 

 quelconque R des générateurs; car, tous ses résidus étant différents, les ré- 



