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sidus de R', R-, R" . . .. R*" le sont aussi, [-misqu'ils ne sont autres que ceux- 

 là, pris de n en n. Donc, R appartient à e; il est générateur. 



» m. Cela posé, les questions que je viens d'énoncer se rapportent aux 

 quatre cas suivants : 



Premier cas : Tous les facteurs premiers de n se trouvent dans e, avec des 

 exposants égaux ou différents, e possédant, ou non, d'autres facteurs pre- 

 jniers à n. 



» Le symbole o (M) désignant, selon l'usage, combien il y a de nombres 

 non supérieurs et premiers à M, le nombre des racines primitives de p est 

 (p (n.e), et le nombre des racines, dites primitives, de e (pour le module/?), 

 donc aussi celui des résidus générateurs pour la puissance n'*""", est cp(6). 

 Il s'ensuit, d'après (I, i"), que les racines d'où proviennent les résidus géné- 

 rateurs sont, exclusivement, toutes les racines primitives de p, toutes les 

 fois qu'on a l'égalité 

 (i) n.o(e) = o(n.e), 



car elles sont en nombre suffisant, et non surabondantes, parce qu'on ne 

 peut jamais avoir o («.e) > n.o (e). H s'agit donc de savoir dans quelles 

 conditions l'égalité (i) est vérifiée. 



» Or, elle se vérifie, comme je vais le démontrer, chaque fois que tous 

 les facteurs premiers de n se retrouvent, soit avec les mêmes exposants, 

 soit avec des exposants différents, parmi les facteurs de e; circonstances 

 qui peuvent, par conséquent, se présenter plusieurs fois, sous des formes 

 diverses, pour un même module/), selon le mode de partition des facteurs 

 (Je jD — I = n.e entre les deux nombres n et e. Par exemple, soit/? = 97; 

 comme 96 = 2^3, on a les diverses partitions : n = 2% e = 2.3; /i — 2% 

 e— 2^.3; « = 2-, e = 2'. 3; n — 2, e — 2\3. 



» Démonstration. — Soit n.e = a\b^.c^.d^'. .. ; a, h, c, d, ... étant des 

 facteurs premiers ; et « — a"" MKc'^ .d" . . , avec e — a"' .1)^' .c^' .d^' . . . ; a, ^, 

 y, . . . , a', 8', y', . . . étant des exposants dont aucun n'est nul, et qui sa- 

 tisfont aux égalités 

 (a") a + 7/ = A, fi -1- ?' = B, y -4- y' = C, 



Je dis que l'égalité (i) est vérifiée. 



» En effet, le premier membre est alors 



a^.b^.c\...o{a'^'.b'^'.c-^'...), 



et il a pour valeur, comme on sait (parce que a, b,c, . . . sont des nombres 



