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 premierti) 



a".6P.cï... rt''-'.P'-'.c^'-'.... {a - i)(6-i)(c- - i)..., 

 qui devient, en réunissant les facteurs de même nom, 



a'^-'.fe''-'.c-'--'....(a-i)(/'-- i)(c-- i).... 

 Or, telle est aussi la valeur du second membre, car 



o{n.e) = o {a\b^.c\... a-' .b^' .et' . . .) = o(a--'.6P-P'.cV-r. . .) 

 == a*-'./>"-'.c'-'. ... (a - i) (è - i) (c - i). . . , 



à cause des relations (2). 



» Exemple: p = 9~, n = i\ e = 2.3 = 6 (l'unique facteur premier 

 de n se trouve dans e). Les six résidus sont dz i, ± 35, ±61 ; les seuls 

 générateurs sont — 35 et — 61, c'est-à-dire 62 et 36. On est bien dans le 

 cas qui vient d'être traité, car 



n^{é) = 2\2 = ?(2*.2.3)= (p(2\3) = 2'. 2 = 32 



» Les trente-deux racines primitives de 97 interviennent seules pour 

 engendrer les deux résidus générateurs. Quant aux racines qui appartien- 

 nent à e = 6, elles produisent des résidus qui n'appartiennçnt pas à l'ex- 

 posant 6 et ne sont pas générateurs ('). 



Deuxième cas : n est un nombre premier. 



» Alors, on a évidemment «o((') > ç(n.<?); car ç(«.e) = o(n).o(e), 

 et n est toujours > <?(«). Les racines primitives sont donc en nombre in- 

 suffisant pour fournir toutes les génératrices des résidus générateurs; les 

 racines secondaires doivent prêter leur concours, et je dis que ce sont celles 

 qui appartiennent à l'exposant e. 



n En effet, on a par définition R^/-", et par hypothèse r^^^-i. Soit r 

 l'exposant minimum non connu, auquel appartient R; je dis que a; ne peut 

 être autre que e. 



n En effet, puisque R^eeei, comme R-"" n'est antre que r"-^, on a la rela- 



(') Je ne m'occupe pas, dans celle Noie, des résidus non générateurs. 11 sérail 

 1res facile de démonlrer qu'ils proviennent de racines appartenant à des exposants 

 de la forme K n, où l'entier K est un diviseur de e, mais jamais e lui-même: ihéo- 

 rènie corrélalif de celui que j"ai énoncé plus haul (II) el qui est démonlré dans les 

 ([uatre paragraphes de (111). 



C. R., 1897, I" Semestre. (T. CXXIV, N« 7.) 44 



