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lion de congruence r"'ss/'", d'où /w^so(mod (-) {Disquisitiones, n" 48). 

 Puisque e divise le second membre et qu'il est premier à /?, il doit divisera:, 

 dont la valeur minimum est par conséquent e lui-même. 



» Ainsi, dans ce cas, les racines appartenant à r jouissent, pour la géné- 

 ration des résidus générateurs, de la même aptitude et du même droit 

 que les racines primitives. Elles se répartissent également entre eux, 

 comme celles-ci. 



» On conclut de là, pour le cas de Jt premier, cette relation fort simple 



(i) «ç(e') = o(nft) -I- çp(e) 



entre le nombre ti et ceux des racines primitives de/? et des racines secon- 

 daires de/j appartenant à e. 



). Exemple : p = fil, n = 5, e = S; (p(5.8) == iG, 9(8) = 4. et l'on a 

 5.4 = 164-4. En outre, les résidus des puissances cinquièmes, pour le 

 module 41 , sont ±1, ±3, ±9, ± i4. pnrmi lesquels les seuls généra- 

 teurs sont ±3, ±i4- Ceux-ci proviennent, savoir : 



1 doul les quatre premières, dans chaque ligne, 

 -i- 3, des racines 11, 12, 28, 34 et ib^ 1 . . ■ • •.• i / . r i 



' o ■> o r ^o"*^ racines primitives de 4' . tandis que la 



— 3, » 7, i3, 20, 3o et 3t [ j . . , • ,• .• . • i- 



' {, ,'t, } dernière de cliaque ligne appartient a 1 expo- 



4, Il i5, 22, 24, 35 et 27f . T . 1 .. • ' ]■ ■ 



^' .1 ' , \ santf'. Les quatre de cette espèce s adjoignent 



— 14, » ' 6, 17, 19, 26 et 14, 



donc aux seize primitives. 



Troisième cas : n, nombre composé, est premier à e. 



» Si i désigne l'un quelconque des diviseurs de n, k étant, par hypo- 

 thèse, premier à e, je dis que toute racine r, appartenant à l'exposant ke, 

 engendre un résidu générateur R ;^Er". 



» Soit, comme ci-dessus, r l'exposant minimum auquel appartient R. 

 On a, par les données et l'hypothèse, R^^i, donc r'^E^i, ou, en écrivant 

 n = kn' , ,■'<"'■>'== i . Mais on a aussi r''^^^ i ; d'où kn'x^ke, et n'o-s^o (mod e). 

 e, diviseur du second nombre et premier à «' par hypothèse (puisque n' 

 est un diviseur de /?), doit donc diviser x\ donc, comme ci-dessus, la va- 

 leur minimum de x est e. Donc, R est générateur, quand la racine r appar- 

 tient à ke. 



)) Exemple : p = 3i, « = 2. 3 = G, e = 5. Les résidus, de puissance 

 sixième, de 3i, sont i, 2, 4. 8, 16; sauf l'unité, tous sont générateurs. 



2 provient des racines 12,21, qui sont primitives; de 2, app' à e; de 29, app' à 2e; de 10,19, app' à 3e 



4 >, 11,24, » ; tle 4, » à e; de 27, » à 2e; de 7,20, " à 3e 



8 » 17,22, " ; de 8, » à e; de 33, » à 2e; de 9,i4, » à 3e 



,5 „ 3,i3, » ; de 16, » à e; de i5, » à 2e; de 18,28, » à 3e 



