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» Autre exemple : p = g-j, « = 2*^32, e = 3. Les trois résidus, de 

 puissance 32"""*, de 97, sont i, 35 et 61. Les deux derniers seuls sont 

 générateurs et proviennent, chacun, de seize racines primitives, et de seize 

 racines secondaires appartenant à e, ie, 4e, 8e, i6e, leur nombre, pour 

 chacun des deux générateurs et relativement à chacun de ces exposants, 

 étant, resj)eclivenient, égal à la moitié de la valeur du nombre o(X(?) qui 

 est propre à l'exposant que l'on considère ( ' ). 



» Un troisième exemple s'est présenté plus haut (I), pour y9 = 4i, 

 /a = 8, e = 5. 



Quatrième cas : n est composé de facteurs, les uns premiers à e, 

 les autres non premiers à e. 



» Je dis que les racines appartenant à des exposants de la forme ke sont 

 seules génératrices, à la condition que chaque multiplicateur k contienne 

 tous ceux des facteurs a*, b'^, c"^ , ... de n, dont les facteurs premiers a, }>, 

 c, ... se trouvent dans e (avec des exposants égaux à ceux-là ou diffé- 

 rents), sans préjudice d'autres facteurs de n, pris exclusivement parmi 

 ceux qui sont premiers à e. 



» Par exemple, si ^ = 33oi, « = 2.3.5.1 1 = 33o, e = 2.5 = io, on 

 devra prendre pour k les valeurs 10, 3o, 1 10, 33o, mais non 6, 22, 33, 

 i5, 55, qui ne contiennent qu'un seul, ou aucun, des facteurs de e. 



)) Démonstration. — Écrivons n = /«' ; n' et e sont premiers entre eux. 

 On a, par définition, R^a" et, par hypothèse, r*^^i, sans abaissement 

 possible de l'exposant. Soit x l'exposant auquel R appartient, d'où 

 R^^/^"'^^r. De celle congrucnce et de la précédente, on lire H"'^^/'', 

 d'où kn'x;^ke et n'x^o (mode); on en conclut, comme ci-dessus, à 

 cause de n' premier à e, que la moindre valeur de x est e. Donc, lorsque r 

 appartient à ke, et seidement alors, R ap|)arlient à e; il est générateur. 



» Dans le cas où X* contient, en sus îles facteurs non premiers entre n 

 et e, tous les autres facteurs de n, la racine appartenant à ke est une racine 

 primitive de p; on a déjà vu, «l'une aulre façon (II), qu'elle est toujours 

 généralri<;e; les deux résultais s'accordent. 



» Exemples : p=Bi, « = 2.3=^6, e^^ 2.5 = 10 i^Gi possède seize 



(') Ainsi, dans cet exemple, sur les seize racines secondaires apparlenant aux ke 

 pour le générateur 35, une appartient à e = 3, une aulre à 6, deux à i.>., quatre à 24, 

 et huit à 48; et pareillement pour le générateur 61. 



