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Iransmiilalions que je nomme additùes et elles sont déterminées par la 

 proposition suivante : 



M S désignant le symbole opératif d' une iransmulalion additive, uniforme 

 et coniinue, à n variables, on a, quelle que soit la fonction régulière u. 



Si 



les coefficients «^ ^. j^, de la série du second membre, étant des fonctions 

 données des variables a;, , .r^, . . • , a:„. 



» En appliquant cette proposition aux opérations connues, on arrive 

 à des formules très intéressantes. Pour ne citer qu'un exemple, je donnerai 

 la suivante : 





(a_ ffi-f-i) (a — /n + 2) . . . (a — i)a x"'-'^ d'" u 

 p^y--^a, "-T-_^ f (m + i — a) mT dx'" ' 



m = i 



qui donne la dérivée D*a, d'une fonction u de la variable x, d'indice a 

 fractionnaire ou négatif 



M 2. Toute transmutation additive, uniforme, à une seule variable x, 

 étant définie par une relation de la forme 



du d'à d"'u 



EM = a„M -I- a. ^ + a, ^ -(- . . . -f- a,„ ^^, H- . . .. 

 on peut l'écrire, symboliquement, 



en posant 



f(x,z) =a„-f-a,z-t-fl2S="j- . . . + a„s'"-h 



)) La fonction y(a7, s) caractérise l'opération t; je VappeWe la fonction 

 opérative de la transmutation. 



» Lorsque la série fi x, ;t- ) " est convergente, pour toute fonction u régulière 



dans un certain domaine autour du point x, la fonction opérative f(^x,z) est, 

 pour cette valeur de x, une fonction entière du genre i ou o. 



u Ce symbole opératif jouit évidemment de propriétés analogues à celles 

 des symboles opéralifs finis qui proviennent des premiers membres d'équa- 

 tions différentielles linéaires. Je signale, entre autres, la formule sui- 

 vante 



L/?J — ? / -^ 2>.r ôz '^ dx'- dz- '^ " ■ ~^ dx" ôz"- + • • •' 



