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où [/cp] désigne \e produit symbolique des deux transmutations / cl ç, en 

 commençant par cp. 



» Les propriétés générales de cette fonction opérative peuvent être 

 utiles, même dans la théorie des équations différentielles linéaires. Entre 

 autres applications, je signalerai la proposition suivante : 



)) Lorsque dans une équation différentielle linéaire 



d"'Y d"'-W , , 



«m ^ + «m-, â~i +...+ «07 = '^{X), 



le polynôme opératif a„, z'" + «,„_, s"""' + . . . + a„ est un polynôme entier en 

 z — kx, à coefficients constants (k étant une constante), cette équation se 

 ramène à une équation à coeffcients constants par le changement de fonction 



y=e 'u('). 



» 3. Soit /(a;, s) la fonction opérative d'une transmutation additive, 

 uniforme, à une variable a?, trouver la transmutation inverse revient, étant 

 donnée une fonction arbitraire v{x), à trouver une fonction u telle que 

 l'on ait 



(2) f{x,-^yi=v{x). 



Le premier membre de cette égalité est linéaire par rapport à « et à ses dé- 

 rivées et, comme il contient, dans le cas général, des dérivées de tous 

 ordres, on a là ce qu'on peut appeler une équation différentielle linéaire 

 d'ordre infini. On peut classer ces équations en trois catégories, suivant que 

 l'intégrale générale ne contient aucune constante arbitraire, un nombre 

 fini ou un nombre infini de constantes arbitraires. Dans le cas des coeffi- 

 cients constants, le classement résulte de la proposition suivante : 



» Le nombre des constantes arbitraires que contient l'intégrale générale de 



l'équation linéaire à coefficients constants f(j-\u = v est égal au nombre des 



, dx ^ 

 racines de l'équation f(:.) = o. 



» J'ai pu étendre, partiellement, cette proposition aux équations linéaires 

 d'ordre infini à coefficients quelconques : Étant donnée l'équation différen- 



(') Cette équation rentre dans le type général des équations décomposables en 

 facteurs primaires cornmutalifs, signalé par M. Floquet. Ce qui fait l'intérêt spécial 

 de celle-ci, c'est qu'on reconnaît à première vue qu'elle est intégrablepar un procédé 

 élémentaire, ce qui n'a pas lieu dans le cas général. 



