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 M Considérons l'équation || a'"* — pa'"' || = o de n'"'"^ degré en p et appe - 



'ons p 0,^, p,,,^„ ..., p,__, .. ., p,,___^ , p,, .V,+ i. •••; ?v,(^=«) 



ses racines, en supposant que p,, o.,, . . ., p,_ et ainsi Pv,+i. ?v,+2« • • •> ?v, • • •> 

 soient égales entre elles, de façon que les racines distinctes soient au 

 nombre de q. 



» Il est bien connu qu'on peut toujours déterminer n- quantités X^^' 

 telles qu'en posant 



'^'=1. I20'^l (/=.,-.,. ...-7) 



on ait 



i-.+ i L 1 J 



H =20,, n.=2,P',0/- 



» J'ai démontré que les conditions nécessaires et suffisantes pour que 

 H, = const. soir une intégrale quadratique des géodésiques de II sont en 

 tous cas exprimées par 



(1) (?/.-F/)T/.<7-+-(p/-?;)T'7A + (?y-?A)Ty/./=« {h,i,j= i , 2, . . ., n età>i>j), 



n 



(II) 2,.|g.^:'"=-(?^-?')T<vM (/.,/=. .2,. ..,«). 



1 



où 



1 ' 



A^ir étant le mineur complémentaire de >yf , dans le déterminant des n-1, 

 divisé par ce même déterminant. 



» Les systèmes (I), (II) peuvent s'intégrer complètement dans l'hypo- 

 thèse particulière qu'il soit possible, par un choix convenable des variables 

 canoniques j?,,/>,, réduire chaque 0/ à ne contenir que v, — v,_, des va- 

 riables Pi. Les XJ^' se partagent alors en g groupes de (v,— v/_,)= éléments, 



qui correspondent aux diverses©^, et l'on a 0,= V V \^[^p/', ou, si l'on 



Vj_,-t-l VJ_| + I 



fait 



Vl_,+l 



0,= 2 K>rPs- 



C. K., 1897, I" Semestre. (T. CXXIV, N- 8 ) 5 I 



