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» La recherche des forces vives H, dont les géodésiques admettent une 

 intégrale quadratique, se réduit, dans ce cas, à la détermination de la 

 forme plus générale des fonctions Kf", pour lesquelles soient satisfaites 



les équations (I), (II), d'où l'on ait éliminé les p. 



I 



» Enappelant A/Iediscriminantde0^etenposant Aa = A/""" " ' (où h peut 

 prendre indifféremment toutes les valeurs, depuis v^., -+- r jusqu'à v^), on 

 peut donner au résultat de l'élimination la forme suivante 



iO-X/, 1 àXj d\/, _^ I dXj d\/, 

 {h^ 1,1, ..../?; ou, ce qui suffit, /j = v, , v^ . . . ., v^) 



pour tous les couples i, j qui n'appartiennent pas au même intervalle ; 

 et, en outre, 



(2) 



dxi V,— ■/,_, dXj 



pour toutes les valeurs de i, qui ne sont pas comprises dans l'intervalle 



(v^_, + 1, V;). 



» Si l'on suppose, ce qui est toujours permis, que l'intégrale générale 

 de (i) soit définie par q équations de la forme 



2 A,,,o"' = const. (m = I, 2,...,^), 



1 



on reconnaît aisément que les o^ doivent être de la forme signalée par 

 M. Painlevé, et, à cause des équations (2), on retrouve nécessairement les 

 forces vives construites par cet auteur. 



» Mais les système (I), (II) comportent bien d'autres solutions. Soit 

 par exemple q ^ n; l'existence d'un système de variables a-,, pj, propres à 

 réduire chaque 9^ à la forme ^tp], est caractérisée, d'après M. Ricci, par ce 

 fait qus y/,ij= o(h^i^j). Or, il n'est pas indispensable qu'il en soit ainsi 

 pour satisfaire à (I), (II). Il suffit de considérer la force vive 



H ^ -l,/j- + iii,*^- -h £r- 



d'un corps solide, ayant un point fixe; lorsque le moment résultant des 

 forces extérieures, par rapport à ce point, est nul, ce qui correspond aux 

 géodésiques de la force vive, il existe l'intégrale 



H,^,l,=/)2 4- 'M\>''q--h £-/•- = const.. 



