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et l'on a, en supposant les moments d'inertie distincts, n = q = 3, p, = A>, 

 p^^ iPo, p3= s. En vertu de la propriété in^'ariante de l'équation 



Ij a'") — pa(") Il = o, 



si le couple H, H, rentre dans ceux de M. Painlevé, il devrait appartenir 

 à la première classe (y = /i), c'est-à-dire être réductible à la forme de 

 M. Stàckel, ou bien encore avoir les invariants y,,:,, y^soTsis tO"s nuls. 

 Voilà précisément ce qui n'arrive pas, car en exprimant H, H, au moyen 

 des angles d'Euler 0, o, T, on trouve 



sin9 / I I I \ 



T.23— -T..3— -^[x "•" ^ ~ Sj' 



sine / I I I \ 



T.3. = - T32. - -^ l^X "^ ■Sïï ^ sj' 

 si 11 e / I I I \ 



T3I2= — T.32= -l-\^:^ ~ iib "*" s/ 



» D'après ces remarques, la recherche de tous les cas où un problème 

 de Mécanique admet une intégrale quadratique parait une question trop 

 compli(|uéc pour qu'on puisse espérer en trouver prochainement une 

 solution définitive. » 



Remarque xiir la Communication précédente de M. Levi-Civita; 



par M. Appell. 



« Les forces vives, indiquées par M. Painlevé dans sa Communication 

 du 24 janvier 1897, comprennent notamment les forces vives de la forme 



T= [9(0; •r,)-HK^'+ ^n)\ 



X I T , ( a; I , . .., x-\, x^, ..., Xi) -{- z.,{^ x-^ , , . . . , x^^; x^^ , , ..., x„)\, 



et ces dernières renferment toutes les forces vives qui comportent une 

 transformation infinitésimale en elles-mêmes. La force vive d'un solide 

 fixé par un point, citée par M. Civita, possède trois transformations infini- 

 tésimales distinctes; elle est donc réductible d'une infinité de manières à 

 la forme (1). 



» On ne connaît jusqu'ici aucun type de ds-, dont les géodésiques pos- 

 sèdent une intégrale quadratique, et qui ne soit pas réductible, par un 

 choix convenable des variables, aux ds- indiqués par M. Painlevé. Il serait 

 intéressant de former des exemples de tels ds-, s'il en existe. » 



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