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importants travaux. Dans une lettre adressée à M. Schwarz, Weierstrass 

 expose à quel point de vue entièrement nouveau il s'est placé dans ces pro- 

 fondes et difficiles questions. L'analyse qu'il communique à notre éminent 

 Correspondant est un chef-d'œuvre d'invention. Elle jelte jusque dans son 

 origine élémentaire une vive lumière sur la question, en représentant les va- 

 riables qui .satisfont à une équation algébrique par un nombre fini d'expres- 

 sions qui contiennent une indéterminée auxili;iire et se déduisent toutes 

 d'une seule d'entre elles. Elle conduit à la notion du genre par un chemin 

 bien différent de celui du premier inventeur, en emplovant seulement les 

 considération.s algébriques, en excluant absolument les considérations du 

 Calcul intégral; elle donne un exemple de plus de cette évolution des 

 théories mathématiques qui se perfectionnent en multipliant les voies 

 d'accès aux vérités nouvelles, et, par là, rendent de plus en plus abordables 

 les résultats cachés qu'on ne pouvait atteindre qu'au prix de grands efforts. 



» Cette circonstance se remarque aussi dans la théorie des intégrales 

 eulériennes dont Weierstrass a, le premier, fait connaître la véritable na- 

 ture, qui était restée inconnue après les grands travaux de Legendre, en 

 démontrant que l'intégrale de seconde espèce est l'inverse d'une fonction 

 holomorphe. De nombreuses méthodes permettent maintenant d'établir 

 cette importante proposition dont la découverte a été comme le prélude 

 des recherches de notre Confrère sur la théorie générale des fonctions 

 uniformes. 



» Mais aucune théorie n'a présenté une succession de points de vue dif- 

 férents et de méthodes variées, qui donne l'idée de la richesse en Analyse, 

 comme la théorie des fonctions elliptiques. 



» En premier lieu, les méthodes d'Abel et de Jacobi, puis, sous des 

 formes variées, les procédés oîi les fonctions 6 servent de point de départ, 

 enfin, la théorie des fonctions doublement périodiques. Ce n'est pas encore 

 à un pareil degré de développement que l'Analyse est parvenue dans cet 

 ordre de questions aussi difficiles qu'importantes, qui se lient étroitement 

 aux fonctions elliptiques, et que Jacobi a ouvert eu posant le problème de 

 l'inversion des intégrales hvperelliptiques. Gôpel et Rosenhain ont donné 

 de ce problème une solution admirée des analystes dans le cas le plus 

 simple des inlégrales de première classe. Elle est fondée sur la considéra- 

 tion de fonctions de deux variables analogues aux fonctions 0; mais on 

 rencontre dans cette voie, à partir des intégrales de seconde classe, des 

 difficultés insurmontables, qui montrent que la même méthode ne leur 



