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mage plein fie regrets et de respect que nous adressons à sa mémoire! Elle 

 vivra aussi longtemps que des esprits avides de vérités consacreront leurs 

 efforts aux recherches de l'Analyse, an progrès de la science du Calcul. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les réslchis des inlégrales doubles de Jonc- 

 tions rationnelles. Note de M. Emile Picakd. 



« M. Poincaré a, comme on sait, étendu le théorème de Cauchy aux in- 

 tégrales doubles de fonctions de deux variables complexes et introduit dans 

 la Science la notion de résidu d'une intégrale double de fonction ration- 

 nelle {Acla mathematica, t. IX). Dans mon Mémoire sur les fonctions 

 algébriques de deux variables et dans le tome II de mon Traité d'Analyse 

 (page 256), je me suis placé à un autre point de vue que JNI. Poincaré, pour 

 faire le calcul des résidus des intégrales doubles de fonctions rationnelles. 

 J'ai eu, cet hiver, à reprendre cette question dans mon cours; il ne sera pas, 

 je crois, sans intérêt d'indiquer, avec quelques détails, la marche suivie 

 qui permet de traiter la question dans toute sa généralité. 



» 1. On considère l'intégrale double 



ffF(^<y)dxdy, 



où F (a;, y) est une fonction rationnelle de x et y, et l'on prend sa valeur 

 suruncontinuum fermé à deux dimensions (surface) dans l'espace à quatre 

 dimensions correspondant aux deux variables complexes .r et y. On sait, 

 d'après M. Poincaré, que, si la surface d'intégration peut être réduite à un 

 point ou à une ligne, sans rencontrer des systèmes de valeurs de xely pour 

 lesquelles F(x, y) devienne infinie ou indéterminée, la valeur de l'inté- 

 grale sera égale à zéro; dans le cas contraire, la valeur de l'intégrale pourra 

 être différente de zéro. Celte valeur s'appelle alors un résidu de l'intégrale 

 double, et ce sont tous les résidus de l'intégrale double que nous nous pro- 

 posons de trouver. 



» Ecrivons l'intégrale sous la forme 



f.r^à^'^''y 



P et A étant deux polynômes en x et y, réductibles ou irréductibles. Poiu- 

 ime valeur donnée à y, l'équation en x 



A{x,y) = o 



