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permutant circulairement les unes dans les autres, et notre surface primi- 

 tive d'intégration sera ainsi remplacée par un certain nombre de surfaces 

 plus simples. Il suffira de considérer l'une d'elles, et de supposer par 



conséquent que C ne renferme que jr,, x.. x^, en admettant que ces 



racines se permutent circulairement. Nous avons comme valeur de l'inté- 

 grale 



Or, d'autre part, la courbe F, parcourue [/. fois, formera évidemment un 

 cycle pour la racine a-, ; formons alors l'intégrale 





le long du cycle ainsi défini. La valeur de cette intégrale sera égale à 

 l'expression (i), les différents termes de cette expression correspondant 

 aux différents tours faits sur la courbe T. Nous retrouvons donc encore, 

 comme plus haut, une période d'intégrale abélienne. 



» 3. Nous venons d'indiquer une classe étendue de surfaces fermées 

 pour lesquelles le résidu correspondant se ramène à une période, polaire ou 

 cyclique, d'une intégrale abélienne. Ou doit se demander si lous les résidus 

 de l'intégrale double considérée se ramènent à une somme de multiples des 

 valeurs que nous venons de trom'er. La réponse est affirmative, comme nous 

 allons l'établir. 



» Si l'on pose x = x^ -f- ix.,, y = j, 4- iy.;^, toute surface à deux dimen- 

 sions sera représentée par deux relations entre Xt, x.>. y^, y... Nous suppo- 

 "sons que le champ d'intégration ne corresponde pas à x arbitraire, y res- 

 tant constant, auquel cas l'intégrale serait nulle; nous admettons aussi que 

 le polynôme A(:c, y) et ses divers facteurs irréductibles (s'il est réductible) 

 contiennent simultanément x et y, comme on peut toujours le supposer. 

 L'équation A(a;, y) = o définit une variété à deux dimensions que nous 

 désignerons sous le nom de continuum A. 



» Pour une valeur donnée à y.,, l'équation A(a^, /)= o, ou, ce qui re- 

 vient au même, les deux équations 



A, (a;,, a7o, j,,j'.,) = o 



. / (A = A,-i-iA2) 



A2(a',, a-o, j,, v.) = o 



définissent un ensemble de valeurs de x^, x.,,y^ que l'on peut regarder 



