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comme représentant un certain nombre de courbes gauches a dans l'espace 

 à trois dimensions [x, , x^, j, ). Chaque plan 



y, = const. 



rencontre les courbes a en un certain nombre de points toujours en même 

 nombre, à savoir le nombre des racines de l'équation \{x,y) = o pour 

 une valeur arbitraire donnée à y. Sauf pour certaines valeurs de Y2 en 

 nombre fini, l'ensemble des courbes « ne présente pas de points multiples; 

 les valeurs de ja, pour lesquelles cet ensemble a un point multiple, 

 correspondent aux coefficients de i dans les valeurs de y pour lesquelles 

 l'équation A (a?, j) = o a une racine multiple. 



» Ceci posé, revenons à notre surface fermée S d'intégration conçue 

 d'une manière tout à fait générale et que nous pouvons supposer tout en- 

 tière à distance finie. Il n'y aura de points de la surface que pour des 

 valeurs de y., comprises entre deux certaines limites a, et flo(«i<[rt2). 

 Quand y.;, en croissant devient égale à a, , une courbe correspondante 

 commence à paraître sur S. Deux cas peuvent se présenter : ou bien cette 

 courbe se réduit à un point, ou elle est la limite de deux courbes qui sont 

 venues se confondre; dans toute autre hypothèse la surface ne serait pas 

 fermée. La courbe ne peut d'ailleurs, pour j^o = ^^i . se réduire à un point 

 si l'on veut que l'intégrale soit différente de zéro, car pourra arbitraire la 

 courbe correspondante extension de ce point ne tournerait pas autour des 

 courbes a. et l'on pourrait, par une déformation continue, réduire à zéro, 

 sans rencontrer le continuum A, une portion fermée de la surface. Nous 

 avons donc, poury, ^ '^'1 > une certaine courbe enveloppant quelques-unes 

 des lignes a; quand j', croît, cette courbe se dédouble et l'on a ainsi, pour 

 j'2 arbitraire, des couples de courbes qui, pendant la variation continue 

 de j'o» i^e peuvent disparaître que deux par deux, en venant à coïncider. 

 Nous désignerons, par C, une de ces courbes correspondant à une valeur 

 d'ailleurs quelconque dej'o. Considérons alors une courbe C et les lignes a, 

 qui correspondent à la même valeur de y.,. Par cette courbe C faisons 

 passer une surface 1 ayant G pour contour; cette surface rencontrera une 

 ou plusieurs lignes a, et soient M ces points de rencontre. Une déformation 

 continue de C permettra, en supprimant les lignes parcourues deux fois en 

 sens inverse, de la réduire à de petites courbes entourant les points M. On 

 pourra ensuite déplacer ces dernières courbes de manière qu'elles soient 



chacune dans un plan 



j', =^ constante. 



