( 437 ) 

 toutes ces réductions et tous ces dépLicemenls s'effectuant d'ailleurs sans 

 traverser les lignes a. De celle façon, nous avons remplacé la surface ini- 

 tiale S par un certain nombre de surfaces fermées engendrées par une 

 petite courbe située dans un plan j, = K, en désignant par K une constante 

 qui varie avec j.^ suivant une loi en grande partie arbitraire. Chacune de 

 nos nouvelles surfaces rentre dans le type des surfaces étudiées au début 

 du paragraphe précédent; l'ensemble des valeurs de rj et de j', donne sur 

 le plan de la variable y une courbe fermée, et à chacpie point de celle-ci 

 correspond une petite courbe dans le plan de la variable x. Il est donc 

 démontré que tous les résidus de Vintégrale double peuvent être regardés 

 comme des périodes cycliques ou polaires d'une intégrale ahélienne. 



» 4. Pour donner un exemple, prenons le cas très simple de l'intégrale 



P(^,.r) 



// 



Q(^,y)R(x,j) 



dxdy. 



On suppose que les polynômes Q et R s'annulentpoura; = j = o, etque ce 

 point est un point simple de rencontre pour les deux courbes Q = o, R = o. 

 Pour une valeur de v voisine de zéro, Téqualion Q = o a une racine x^ 

 voisine de zéro, et l'équation R = o une racine x^ voisine de zéro. Prenons 

 comme courbe C (n° 2), une courbe dans le plan des x entourant x^ et 

 laissant x.^ à son extérieur. Quand la variable y décrit autour de l'origine 

 une courbe fermée r suffisamment petite, les points x, et x^ reviennent 

 à la fin à leur position initiale, et. si C en se déformant reste suffisamment 

 rapproché de Xf, il laissera toujours x^ à son extérieur. On peut, par 

 exemple, supposer que C est un cercle de rayon fixe assez petit avant x^ 

 pour centre. Le calcul de la valeur de l'intégrale double, sur la surface 

 fermée ainsi définie, est immédiat, et l'on trouve, 



--41: 



\dy da: dx rfjA.=„ 



» 5. Je termine par une remarque qui a plutôt un intérêt historique. 

 Didon {Annales de l'École Normale, i^'j'i) a considéré autrefois l'intégrale 



suivante : 



^.dx dv 



ff 



f(^,y)-'?(.^,f) 



où A est le déterminant fonctionnel dey" et de 9. Deux contours fermés C 

 etC sont tracés respectivement dans les plans des a; et des j; l'intégrale est 



c. R. 1897, I" Semestre. (T. CXXIV, N° 9.) 5"] 



