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 d'idées où je me place ('), telles que je viens de les présenter dans mon 



COIII'S. 



» 1. La première question qui se présente dans la théorie des surfaces 

 algébriques est relative à la réduction des singularités. Elle a fait autrefois 

 l'objet des travaux de M. Nœther et de M. del Pezzo, et M. Segre vient d'y 

 consacrer récemment un intéressant Mémoire. J'ai tout d'abord cherché à 

 présenter d'une manière complètement rigoureuse les théorèmes qui jouent 

 le rôle essentiel dans cette réduction. D'après une première proposition, 

 on peut faire correspondre point par point à toute surface algébrique 



ayant des singularités quelconques, une autre surface n'ayant que les sin- 

 gularités ordinaires. Celles-ci se composent de courbes doubles pouvant 

 avoir des points. triples à tangentes distinctes qui sont en même temps des 

 points triples pour la surface. 



» Un second théorème est relatif à la représentation d'une surface dans 

 un espace à dimensions complexes, dont le nombre est supérieur à trois. 

 Il est possible de faire correspondre uniformément la surface y^ à une sur- 

 face F d'un espace E à cinq dimensions, cette sur/ace F n'ayant aucun point 

 multiple. Cette seconde proposition est la plus importante, la première 

 s'en déduisant d'ailleurs aisément. 



» 2. Si l'on ramène à la surface d'une sphère chacune des dimensions 

 complexes de l'espace E (comme dans la théorie des fonctions d'une 

 variable complexe), on peut regarder la surface F comme étant un conti- 

 nuum/erme à quatre dimensions réelles ne se coupant pas lui-même. Or on 

 sait, d'après Riemann et Betti, qu'il y a lieu, dans une variété à quatre 

 dimensions, de considérer trois ordres de connexion 



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relatifs respectivement à une, deux et trois dimensions. La variété ici 

 considérée étant fermée, on aura 



(') Au point de vue de l'Algèbre et de la Géométrie analytique, la théorie des sur- 

 faces algébriques a fait, dans ces dernières années, l'objet de travaux considérables de 

 la part de deux jeunes géomètres italiens extrêmement distingués, MiM. Castelnuovo 

 et Enriques. On trouvera, dans le tome XL VIII des Mathemalische Annalen (1896), 

 un Mémoire dans lequel ils résument les principaux résultats de leurs recherches. 

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