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et nous sommes ainsi conduit à introduire dans la théorie des surfaces 

 deux nombres invariants yo, et p., relatifs aux connexions à une et deux 

 dimensions. 



» Le premier résultat que j'ai obtenu est relatif au nombre />, ; on arrive 

 à cette conclusion, au premier abord étrange, que Von a en général 



c'est-à-dire que tous les cycles linéaires d'une surface se ramènent à un 

 cycle nul; on peut donner de ce théorème diverses démonstrations. Ce 

 n'est que pour des surfaces spéciales que p, est supérieur à Tunité, et la 

 question se pose de déterminer le nombre />, pour une surface donnée; 

 mais occupons-nous d'abord des intégrales de différentielles totales. 

 » 3. Nous considérons une intégrale de différentielle totale 



(i) JPclx+Qdy, 



où P et Q sont des fonctions rationnelles des coordonnées x, y, z d'un 

 point quelconque àe,/. Une telle intégrale sera dite une intégrale de pre- 

 mière espèce, si elle reste finie en tout point de la variété F qui lui corres- 

 pond dans l'espace E. On peut encore donner une autre définition équi- 

 valente en restant dans l'espace (.r, y, z); soit (.r„, r„, -„) un point 

 arbitraire de la surface, que nous pouvons toujours supposé ramené à 

 distance finie, et envisageons toutes les courbes passant par (a;„, y^, z^,) 

 situées sur la surface et susceptibles d'être représentées dans le voisinage 

 du point par les équations 



(2) X = X„ + \{t), y = J„-|- [j.(^), z = Z^ + v{t), 



11, ^., V étant holomorphes dans le voisinage de / = o et s'annulant pour 

 ^ = o. On substitue ces valeurs dans l'expression (i) et l'on a une intégrale 

 devant rester finie pour f = o. Si cette condition est remplie pour tous les 

 points de la surface et pour toutes les courbes de la nature indiquée, l'in- 

 tégrale sera de première espèce. 



» Si une surface a une intégrale de première espèce, celle-ci aura au 

 moins deux périodes; par suite 



et il résulte immédiatement de là qu'il n'y a pas, en général, de telles inté- 

 grales. La recherche des intégrales de première espèce pour une surface 

 donnée j)eut se faire d'une manière régulière. On devra pouvoir trouver 



