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 trois polynômes A, B, C eu .r, j-, z satisfaisant à l'identité 



dx Or dz \dx ôv OzJ'^ 



En désignant par m le degré de /, A doit être de degré m — 2 en a;, y, s et 

 de degré m — 3 en jet z, et de même pour B et C par permutation circu- 

 laire. Si la surface/ n'a que des singularités ordinaires, les trois surfaces 



A = o. B = o, C = o 



doivent passer par la courbe double; à chaque système de polynômes A, 

 B, C, satisfaisant à ces conditions, correspond une intégrale de première 

 espèce. 



4. Passons aux intégrales de différentielles totales de seconde espèce. 

 On pont les définir encore de deux manières équivalentes. Si l'on jircnd 

 d'abord les expressions (2) et qu'on les substitue dans (i), on aura une 

 expression 



/■ 



» Supposons queF(/) ne soit pas identiquement infime; l'intégrale pré- 

 cédente ne devra pas avoir au point/ =: o un point singulier logarithmique. 

 On pe.ut encore définir les intégrales de seconde espèce en disant que l'in- 

 tégrale prise le long de tout cycle susceptible de se réduire à un cycle nul 

 est égale à zéro. On voit immédiatement qu une surface, pour laquelle 

 p^ = I, n'a pas d'intégrale de différentielle totale de seconde espèce qui ne se 

 réduise à une fonction rationnelle de x, y et z, 



» Des intégrales de seconde espèce sont dites distinctes, si l'on ne peut 

 former avec elles de combinaison linéaire se réduisant à une fonction ra- 

 tionnelle. La recherche des intégrales de seconde espèce d'une surface 

 donnée est beaucoup plus difficile que pour les intégrales de première 

 espèce. J'ai montré qu'on pouvait ramener d'une manière régulière ce pro- 

 blême à la recherche des intégrales rationnelles d'une équation dijfférenlielle 

 linéaire ordinaire dont les coefficients sont eux-mêmes rationnels. 



5. Revenons maintenant à la recherche du nombre p^ ; j'ai indiqué au- 

 trefois le principe de cette recherche, mais sans formuler le l'ésultat précis 

 que je veux maintenant indiquer. Je suppose que les axes ont une dispo- 

 sition arbitraire par rap|)ort à la surface, qui n'a que des singularités ordi- 

 naires ; on peut d'abord ramener tous les cycles linéaires de la surface à 



